Le clans des mouettes

ainsi est la force.
 
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 Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca

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yanis la chouette



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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:58

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, etc.)1.

Sommaire

1 Utilisations
2 Définitions
3 Équations
3.1 Équations cartésiennes et paramétriques
3.2 Points d'intersection avec une droite
4 Le cercle vu comme section
5 Propriétés géométriques
5.1 Mesures
5.2 Corde et flèche d'un arc
5.3 Tangente
5.4 Médiatrice
5.5 Cercle et triangle rectangle
5.6 Angle inscrit, angle au centre
5.7 Puissance d'un point par rapport à un cercle
5.8 Rapport des cercles inscrits
6 Note et référence
7 Voir aussi

Utilisations

Le cercle est un objet mathématique abstrait, qui peut servir à modéliser de nombreux phénomènes. Un certain nombre d'objets manufacturés ont une section circulaire : cylindres (rouleaux, roues, silos), sphères (ballon, balles, billes), cônes (rouleaux, entonnoirs). Les propriétés du cercles permettent donc de déduire des propriétés des objets, comme par exemple leur volume qui permet de déduire la masse de l'objet (connaissant sa masse volumique) ou sa contenance. Les objets de section circulaire sont intéressants pour principalement plusieurs raisons :

ces objets roulent, ce qui permet d'avoir des mouvement et déplacements nécessitant peu d'efforts (roues, roulements mécaniques) ;
par définition, tous les points sont à égale distance du centre ; cela signifie qu'il faut le même temps et la même énergie pour atteindre chaque point à partir du centre, ce qui a donné la notion d'hémicycle (amphithéâtre) dans lequel le son a le même volume pour tous ceux assis sur le même banc ;
cela a également de l'importance en terme d'organisation du territoire et de logistique ; en effet, si le déplacement se fait de la même manière dans toutes les directions (terrain idéalement plat et horizontal, sans obstacle, ou bien vol d'oiseau sans vent), alors un cercle représente l'ensemble des points que l'on peut atteindre pour une durée de trajet donnée ou ne consommation d'énergie donnée à partir du centre, c'est la notion de rayon d'action, et l'intérêt du problème du cercle minimum ;
lorsque l'on souffle du verre, le verre s'éloigne du point de soufflage avec une vitesse isotrope, ce qui donne à l'objet une forme naturellement arrondie ;
le cercle est la courbe plane qui, pour une longueur donnée (périmètre), a l'aire la plus grande ; ainsi, si l'on construit un silo ou une bouteille cylindrique, on a la contenance la plus importante pour une quantité de matériau donné (pour faire la paroi), si l'on construit une palissade circulaire, on pourra loger plus de personnes pour une quantité de bois ou de pierre donnée ; dans le même ordre d'idées, la défense en cercle est une stratégie militaire permettant de défendre une population ou un stock avec le minimum de moyens, face à une attaque venant de toutes parts, tactique dite justement de l'encerclement ;
cette forme ne présente pas d'aspérité, donc pas de concentration de contrainte ; un objet ayant cette forme a une meilleure résistance mécanique ;
cette forme ne présente pas de partie plane, ainsi, un projectile a peu de chance de la frapper « de face », il lui transmet moins d'énergie et donc risque moins de l'endommager ; si l'objet tombe, il a plus de chance de rebondir sans casser ; un objet arrondi a aussi moins de risque de blesser en cas de choc avec une personne (ballon, arrondi des capots et pare-chocs de voitures modernes) ;
toute droite passant par le centre est un rayon, et donc est perpendiculaire au cercle ; cette propriété est utilisée en optique et a donné les contre-miroirs sphériques, c'est aussi pour cela que les lentilles ont des surfaces sphériques (ont peut facilement prédire le trajet lumineux aux dioptres) ;
un objet de section circulaire et à paroi mince peut se fabriquer par enroulement de fil (ressort hélicoïdal, bobine) ou par roulage d'une tôle (virole, tube) ; un objet de section circulaire creux ou massif peut aussi s'obtenir facilement par tournage (poterie, tournage mécanique) ;
si l'on met un objet dans un récipient circulaire, on impose sa position mais on n'impose pas son orientation ; si l'orientation n'a pas d'importance, alors cela permet de gagner du temps puisque l'on n'a pas à tourner l'objet avant de le mettre en position ; c'est le principe du centrage (long ou court) pour la mise en position (MiP).

Certains objets répondent à plusieurs de ces éléments. Par exemple, le fait qu'un canon soit cylindrique :

permet une fabrication facile, en particulier l'alésage ;
donne une résistance mécanique (résistance à la pression de l'explosion) ;
facilite l'introduction de la munition (on n'a pas besoin de la tourner autour de son axe pour l'introduire) ;
en pratiquant une hélice dans le canon, on peut imprimer un mouvement de rotation lors du tir qui stabilise la trajectoire.

Si un objet a une surface courbe, elle peut être localement approchée par un cercle. Ainsi, si l'on connaît les propriétés du cercle, on connaît les propriétés locales de l'objet. C'est ce qui a donné les notions de cercle osculateur, de rayon de courbure et d'harmonique sphérique.

Si l'on dispose des objets ou des personnes en cercle, on sait que l'on peut les atteindre avec le même effort depuis le centre, mais aussi que l'on peut les voir de la même manière, ce qui peut faciliter la surveillance. On peut aussi les désigner en faisant appel à un seul paramètre, la direction ; c'est par exemple l'intérêt des cadrans à aiguille. Cela donne aussi les notions de coordonnées cylindriques et sphériques.

Enfin, de par sa définition, le cercle euclidien est très simple à tracer : il suffit d'avoir un objet dont les deux extrémités ont une distance constante, comme par exemple une corde tendue ou une branche (même tordue), ou de manière plus courante un compas. Il est donc simple de tracer un cercle « parfait », ce qui en fait un outil d'étude privilégié pour la géométrie.

Pour des problèmes et des formes plus complexes, on peut faire appel à la notion d'ellipse.

Le cercle peut servir à représenter de manière symbolique des objets « plus ou moins ronds » :

des astres (planètes, lunes, étoiles) et leurs orbites (qui sont en fait elliptiques) ;
l’ovale d'un visage (la tête à Toto, les smileys) ;
un orifice.

Du point de vue purement symbolique, il représente :

une certaine forme de perfection, de par sa symétrie et son absence d'aspérité, car, selon Ronsard, « rien n'est excellent au monde s'il n'est rond »2 ; depuis l'Antiquité grecque, la sphéricité est associée à la perfection, et par conséquent à la divinité3 ; pour Kepler, le cercle représente la sainte Trinité, « Le Père au centre, le Fils à la superficie, le Saint Esprit dans l'égalité de la relation du centre au pourtour. Et bien que le centre, la surface et l'intervalle soient manifestement trois, pourtant ils ne font qu'un, au point qu'on ne peut même pas concevoir qu'il en manque un sans que le tout soit détruit3,4 » ;
un mouvement continu et infini, la notion de cycle ; il est une des représentations du recommencement (ouroboros), de la continuité, de l'éternité et du temps cyclique (voir la roue du temps du Tantra de kalachakra), avec la variante de la spirale ;
une égalité entre les personnes, comme pour la Table ronde du roi Arthur.

Définitions
Divers objets géométriques liés au cercle.

Pendant longtemps, le langage courant employait le mot « cercle » autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appelée disque.

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre définit le nombre pi.

D'autres termes méritent d’être définis :

Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle ;
Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points ;
Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points du cercle ;
Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle ;
Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2 r {\displaystyle 2r} 2r ;
Un disque est une région du plan limitée par un cercle ;
Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons ;
Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle ;
La circonférence est le périmètre du cercle et est égale à 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 2\pi r.

Équations
Équations cartésiennes et paramétriques
Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre C ( a , b ) {\displaystyle C(a,b)} C(a,b) et de rayon r {\displaystyle r} r est :

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :
x 2 + y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.} x^2 + y^2 = 1.

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y {\displaystyle y} y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :

y = b ± r 2 − ( x − a ) 2 {\displaystyle y=b\pm {\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}\,} y=b\pm {\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}\,.

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre θ {\displaystyle \theta \,} \theta \, qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ces points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :

x = a + r cos ⁡ θ ; y = b + r sin ⁡ θ {\displaystyle x=a+r\cos \theta ;\qquad y=b+r\sin \theta } x = a + r \cos\theta ;\qquad y = b + r \sin\theta

soit, pour un cercle centré sur l'origine ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} (0,0) :

x = r cos ⁡ θ ; y = r sin ⁡ θ {\displaystyle x=r\cos \theta ;\qquad y=r\sin \theta \,} x=r\cos \theta ;\qquad y=r\sin \theta \,

et pour le cercle unité :

x = cos ⁡ θ ; y = sin ⁡ θ . {\displaystyle x=\cos \theta ;\qquad y=\sin \theta .} x = \cos\theta ;\qquad y = \sin\theta.

On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre [ A B ] {\displaystyle [AB]} [AB] :

( x − x A ) ( x − x B ) + ( y − y A ) ( y − y B ) = 0 {\displaystyle (x-x_{A})(x-x_{B})+(y-y_{A})(y-y_{B})=0\,} (x-x_{A})(x-x_{B})+(y-y_{A})(y-y_{B})=0\,, soit encore :
x 2 + y 2 − ( x A + x B ) x − ( y A + y B ) y + x A x B + y A y B = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-(x_{A}+x_{B})x-(y_{A}+y_{B})y+x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B}=0.} x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0.

Points d'intersection avec une droite

La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :

x 2 + y 2 = r 2 e t y = y 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\quad {\rm {et}}\quad y=y_{0},} x^2+y^2=r^2\quad{\rm et}\quad y=y_0,

donc de chercher les solutions x de

x 2 = r 2 − y 0 2 . {\displaystyle x^{2}=r^{2}-y_{0}^{2}.} x^2=r^2-y_0^2.

Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :

si | y 0 | > r {\displaystyle |y_{0}|>r} |y_0|>r, l'intersection est vide ;
si | y 0 | = r {\displaystyle |y_{0}|=r} |y_0|=r, la droite est tangente au cercle au point ( 0 , y 0 ) {\displaystyle (0,y_{0})} (0,y_0) ;
si | y 0 | < r {\displaystyle |y_{0}|<r} |y_0|<r, il existe deux points d'intersection : ( + r 2 − y 0 2 , y 0 ) et ( − r 2 − y 0 2 , y 0 ) . {\displaystyle (+{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0}){\text{ et }}(-{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0}).} (+\sqrt{r^2-y_0^2},y_0)\text{ et }(-\sqrt{r^2-y_0^2},y_0).

Le cercle vu comme section
Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e {\displaystyle e} e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.
Propriétés géométriques
Mesures

La longueur d'un arc de rayon r {\displaystyle r} r sous-tendu par un angle au centre α {\displaystyle \alpha } \alpha , exprimé en radians, est égale à α r {\displaystyle \alpha r} \alpha r. Ainsi, pour un angle de 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (un tour complet), la longueur du cercle vaut 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 2\pi r.

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r {\displaystyle r} r vaut π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} \pi r^{2} ; si l'on prend une corde de longueur l {\displaystyle l} l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Corde et flèche d'un arc

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle α {\displaystyle \alpha } \alpha est égale à 2 r sin ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle 2r\sin(\alpha /2)} 2r\sin(\alpha /2).

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par r – f, c/2 et r qui est l'hypoténuse :

c = 2 ( 2 r − f ) f ; r = 4 f 2 + c 2 8 f ; f = r − r 2 − c 2 4 . {\displaystyle c=2{\sqrt {(2r-f)f}};\qquad r={\frac {4f^{2}+c^{2}}{8f}};\qquad f=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {c^{2}}{4}}}}.} c = 2\sqrt{(2r - f)f} ;\qquad r = \frac{4f^2+c^2}{8 f} ;\qquad f = r - \sqrt{r^2 - \tfrac{c^2}4}.

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continument dérivable est indépendante du rayon du cercle.
Tangente
Trouver le point de tangence.
Tangente perpendiculaire au rayon.

La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.

On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.

On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.
Médiatrice
La médiatrice d'une corde passe par le centre.

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle
Triangle rectangle inscrit dans un cercle.

Prenons trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.
Angle inscrit, angle au centre
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.
Article détaillé : Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Prenons deux points distincts A {\displaystyle A} A et B {\displaystyle B} B du cercle. O {\displaystyle O} O est le centre du cercle et C {\displaystyle C} C est un autre point du cercle. Alors, on a
A O B ^ = 2 × A C B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}=2\times {\widehat {ACB}}} \widehat {AOB}=2\times \widehat {ACB}

Pour l'angle au centre A O B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}} \widehat {AOB}, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C {\displaystyle C} C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Article détaillé : Puissance d'un point par rapport à un cercle.
Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Si M {\displaystyle M} M est un point et Γ {\displaystyle \Gamma } \Gamma est un cercle de centre O {\displaystyle O} O et de rayon R {\displaystyle R} R, alors, pour toute droite passant par M {\displaystyle M} M et rencontrant le cercle en A {\displaystyle A} A et B {\displaystyle B} B, on a
M A × M B = | O M 2 − R 2 | {\displaystyle MA\times MB=|OM^{2}-R^{2}|} MA\times MB=|OM^{2}-R^{2}|.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M {\displaystyle M} M par rapport au cercle.

On peut remarquer que

si M {\displaystyle M} M est à l’extérieur du cercle,
M A × M B = O M 2 − R 2 {\displaystyle MA\times MB=OM^{2}-R^{2}} MA\times MB=OM^{2}-R^{2} ;
si M {\displaystyle M} M est à l’intérieur du cercle,
O M 2 − R 2 = − M A × M B {\displaystyle OM^{2}-R^{2}=-MA\times MB} OM^{2}-R^{2}=-MA\times MB ;
ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point M {\displaystyle M} M par rapport au cercle Γ {\displaystyle \Gamma } \Gamma le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours O M 2 − R 2 {\displaystyle OM^{2}-R^{2}} OM^{2}-R^{2}.

Lorsque le point M {\displaystyle M} M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T {\displaystyle T} T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle O M T {\displaystyle OMT} OMT, la puissance de M {\displaystyle M} M est M T 2 {\displaystyle MT^{2}} MT^{2}.

L'égalité :
M A × M B = M T 2 {\displaystyle MA\times MB=MT^{2}} MA\times MB=MT^{2}

est suffisante pour affirmer que la droite ( M T {\displaystyle MT} MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

A {\displaystyle A} A, B {\displaystyle B} B, C {\displaystyle C} C, D {\displaystyle D} D sont quatre points tels que ( A B {\displaystyle AB} AB) et ( C D {\displaystyle CD} CD) se coupent en M {\displaystyle M} M et
MA×MB = MC×MD (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.
Rapport des cercles inscrits
Cette section semble contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (30/08/2015). Vous pouvez aider en ajoutant des références.
Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits, pour N de 2 à 6.

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R {\displaystyle R} R et de surface S {\displaystyle S} S :

R ′ = R 2 ; 2 S ′ = S 2 {\displaystyle R'={\frac {R}{2}}\,;\qquad 2\,S'={\frac {S}{2}}} R'={\frac {R}{2}}\,;\qquad 2\,S'={\frac {S}{2}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 3 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 4 3 ; 3 S ′ = 9 S 7 + 2 3 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {\frac {4}{3}}}}}\,;\qquad 3\,S'={\frac {9\,S}{7+2{\sqrt {3}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {{\frac {4}{3}}}}}}\,;\qquad 3\,S'={\frac {9\,S}{7+2{\sqrt {3}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 4 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 2 = ( 2 − 1 ) R ; 4 S ′ = 4 S 3 + 8 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2}}}}=({\sqrt {2}}-1)\,R\,;\qquad 4\,S'={\frac {4\,S}{3+{\sqrt {8}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2}}}}=({\sqrt {2}}-1)\,R\,;\qquad 4\,S'={\frac {4\,S}{3+{\sqrt {8}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' des 5 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 2 + 4 5 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {4}{5}}}}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2+{\sqrt {{\frac {4}{5}}}}}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6) :

R ′ = R 3 ; 7 S ′ = 7 S 9 . {\displaystyle R'={\frac {R}{3}}\,;\qquad 7\,S'={\frac {7\,S}{9}}.} R' = \frac{R}{3} \,;\qquad 7\,S' = \frac{7\,S}9.

Inscription de cercles, de même rayon, dans un cercle, un triangle équilatéral, un carré5
Note et référence

↑ Voir la définition de l'adjectif rond [archive] sur le site du CNRTL.
↑ Pierre de Ronsard, Réponse aux injures et calomnies de je ne sais quels prédicants et ministres de Genève, 1563.
↑ a et b « Les avancées grecques : Le cercle et la sphère » [archive], sur Les galeries virtuelles de la Bibliothèque nationale de France.
↑ Johannes Kepler, Le Mystère cosmographique, 1596.
↑ Retrouver ces figures d'inscription de cercles dans la page empilements dans le plan [archive].

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Cercle, sur Wikimedia Commons cercle, sur le Wiktionnaire Cercle, sur Wikisource

Voir la catégorie : Cercle.
Cercle généralisé (en)
Livre III des Éléments d'Euclide
Disque — Sphère — Boule

[masquer]
v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:59

Citazioni di Emilio Lussu

Il popolo sardo, come i popoli venuti ultimi alla civiltà moderna e già fattisi primi, ha da rivelare qualcosa a se stesso e agli altri, di profondamente umano e nuovo. (da L'avvenire della Sardegna, Il ponte, ottobre 1951)

Marcia su Roma e dintorni
Incipit

Il mio battaglione era sulla linea di armistizio alla frontiera jugoslava, quando a Parigi si riunì la Conferenza della Pace. L'esercito era democratico. Non avevamo noi proclamato, per cinque anni, di batterci per una causa di libertà e di giustizia? Il messaggio di Wilson era popolarissimo fra i combattenti, e grande fu la delusione quando sembrò che i 14 punti, ad uno ad uno, crollassero al contatto della diplomazia europea. La diplomazia era già per se stessa antipatica ai combattenti press'a poco come lo Stato Maggiore.
Citazioni

La tragedia, spesso, non è nel battersi ma nel non potersi battere. (2002, p. 98)
La violenza più forte può trionfare della violenza più debole, non del raccoglimento e della tenacia. (2002, p. 104)
Alla libertà si rimane fedeli nelle ore difficili. Quando è minacciata la si difende: quando è perduta si muore. (1974, p. 149)
Che vale contrastare il terreno al nemico invincibile? È più saggio gittare le armi e fare addirittura con esso causa comune. (1974, p. 184)
La psicologia del condannato politico è quella di un principe in regime dispotico. (1974, p. 198)

Explicit

Il mondo va a destra!... Il mondo non va né a destra né a sinistra. Il mondo continua a girare attorno a se stesso, con regolari eclissi di luna e di sole.

[Emilio Lussu, Marcia su Roma e dintorni, Giulio Einaudi Editore, 2002]
Un anno sull'Altipiano
Incipit

Alla fine maggio 1916, la mia brigata – reggimenti 399° e 400° – stava ancora sul Carso. Sin dall'inizio della guerra, essa aveva combattuto solo su quel fronte. Per noi, era ormai diventato insopportabile. Ogni palmo di terra ci ricordava un combattimento o la tomba di un compagno caduto. Non avevamo fatto altro che conquistare trincee, trincee e trincee. Dopo quella dei "gatti rossi", era venuta quella dei "gatti neri", poi quella dei "gatti verdi". Ma la situazione era sempre la stessa. Presa una trincea, bisognava conquistarne un'altra. Trieste era sempre là, di fronte al golfo, alla stessa distanza, stanca. La nostra artiglieria non vi aveva voluto tirare un sol colpo. Il duca d'Aosta, nostro comandante d'armata, la citava ogni volta, negli ordini del giorno e nei discorsi, per animare i combattenti.
Citazioni

Il dramma della guerra è l'assalto. La morte è un avvenimento normale e si muore senza spavento. Ma la coscienza della morte, la certezza della morte inevitabile, rende tragiche le ore che la precedono. (cap. XVI)
L'assalto! Dove si andava? Si abbandonavano i ripari e si usciva. Dove? Le mitragliatrici, tutte, sdraiate sul ventre imbottito di cartucce, ci aspettavano. Chi non ha conosciuto quegli istanti, non ha conosciuto la guerra.
Sentivo delle ondate di follia avvicinarsi e sparire. A tratti, sentivo il cervello sciaguattare nella scatola cranica, come l'acqua agitata in una bottiglia.
Fare la guerra è una cosa, uccidere un uomo è un'altra cosa.
Il caporale si rovesciò indietro e cadde su di noi. La palla lo aveva colpito alla sommità del petto, sotto la clavicola, attraversandolo da parte a parte. E il sangue gli usciva dalla bocca. Gli occhi chiusi, il respiro affannoso, mormorava: «Non è niente, signor tenente».
Prima tanto forte e pieno di vita, ora era sfinito. Steso sul lettino da campo, le labbra bianche, immobile, sembrava un cadavere. Solo una contrazione della bocca, simile ad un sorriso amaro, mostrava ch'egli viveva e soffriva.
Non è vero che l'istinto di conservazione sia una legge assoluta della vita. Vi sono dei momenti, in cui la vita pesa più dell'attesa della morte.
Tristezza e gioia sono emozioni della stessa natura. (cap. XXIII)
Questa decimazione appariva un avvenimento così precipitato e straordinario da non essere neppure considerato possibile. Ma non è necessario che tutti credano al dramma perché questo si svolga. (cap. XXVIII)

Explicit

Gli ufficiali trattenevano il respiro. Non Avevano sentito le parole dell'aiutante maggiore, ma, dalle mie risposte, avevano capito tutto. Muti, mi guardavano negli occhi, con un'espressione di angoscia. il tenente di cavalleria riempì il bicchiere e disse: – Beviamo alla Bainsizza! – I colleghi l'imitarono. L'offensiva sulla Bainsizza! La guerra ricominciava.
Bibliografia

Emilio Lussu, Marcia su Roma e dintorni, Giulio Einaudi Editore, 1974.
Emilio Lussu, Marcia su Roma e dintorni, Giulio Einaudi Editore, 2002.
Emilio Lussu, Un anno sull'Altipiano, Einaudi.

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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:59

n mathématiques, et plus particulièrement dans l'étude de l'approximation diophantienne, la conjecture du coureur solitaire est une conjecture due à J. M. Wills en 1967. Les applications de cette conjecture balayent de nombreux domaines des mathématiques : problèmes d'obstruction de vue1, calculs de nombres chromatiques2, etc. Le nom pittoresque de cette conjecture a été proposée par L. Goddyn en 19983.

Sommaire

1 La conjecture
2 Propriétés
3 Résultats démontrés
4 Notes et références
5 Liens externes

La conjecture

Considérons k coureurs sur une piste circulaire de longueur 1. Au temps t = 0, tous les coureurs sont à la même position et commencent à courir à des vitesses deux à deux distinctes. Un coureur est dit solitaire au temps t s'il est à une distance d'au moins 1/k de tous les autres coureurs. La conjecture du coureur solitaire affirme que chaque coureur sera solitaire à certains moments.
Propriétés

A priori, les vitesses sont des réels, mais on peut se restreindre sans perte de généralité à des rationnels ou des entiers4,5.
Résultats démontrés
k année démontrés par notes
1 - - trivial: tout t convient
2 - - trivial: t = 1 / (2 * (v1-v0))
3 - - Toute preuve pour k>3 prouve également le cas k=3
4 1972 Betke et Wills6; Cusick7 -
5 1984 Cusick et Pomerance8; Bienia et al.3 -
6 2001 Bohman, Holzman, Kleitman5; Renault9 -
7 2008 Barajas et Serra2 -
Notes et références

↑ T. W. Cusick, « View-Obstruction problems », Aequationes Math., vol. 9, no 2–3,‎ 1973, p. 165–170 (DOI 10.1007/BF01832623)
↑ a et b J. Barajas et O. Serra, « The lonely runner with seven runners », The Electronic Journal of Combinatorics, vol. 15,‎ 2008, R48.
↑ a et b Wojciech Bienia, Luis Goddyn, Pavol Gvozdjak, Andras Sebo et Michael Tarsi, « Flows, view obstructions, and the lonely runner problem », Journal of combinatorial theory series B, vol. 72,‎ 1998, p. 1-9 (DOI 10.1006/jctb.1997.1770).
↑ Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture » [archive], sur What's New,‎ 13 mai 2015.
↑ a et b T. Bohman, R. Holzman et D. Kleitman, « Six lonely runners », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 8, no 2,‎ 2001.
↑ DOI:10.1007/BF01322924
↑ T. W. Cusick, « View-obstruction problems in n-dimensional geometry », Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 16, no 1,‎ 1974, p. 1-11 (DOI 10.1016/0097-3165(74)90066-1)
↑ DOI:10.1016/0022-314X(84)90097-0
↑ DOI:10.1016/j.disc.2004.06.008

Liens externes

Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur What's New,‎ 13 mai 2015
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:00

Les polymères inorganiques sont des polymères dont le squelette ne comporte pas d'atomes de carbone1. Les polymères, tels les polymères modifiés silane, comprenant des composants organiques et inorganiques sont nommés des polymères hybrides2 ou polymères organo-minéraux3,4. Un des exemples les mieux connus est le polydiméthylsiloxane. Il a un motif de répétition basé sur le silicium et l'oxygène : —[O-Si(CH3)2]n—.

Le polythiazyle (polymère de nitrure de soufre), de formule (SN)x, est, ce qui est hautement inhabituel, un polymère métallique supraconducteur à −272,89 °C5.

Sommaire

1 Polymères naturels
2 Polymères synthétiques
2.1 Exemples
2.2 Polymérisation
3 Notes et références
4 Article connexe

Polymères naturels

L'enchaînement covalent -Si-O-Si-O-Si-O- (appelé chaîne polysiloxanique), présent dans le polydiméthylsiloxane, est également la base de structures polymères inorganiques naturelles, uni-, bi- ou tridimensionnelles, dans la famille des silicates6.

Les sites libres de la chaîne polysiloxanique, au lieu d'être occupés par des groupes organiques pour former des polymères hybrides, peuvent l'être par des atomes d'oxygène liés aux atomes de silicium de la chaîne par une liaison covalente polaire pour donner des macro-anions7 qui s'associent à des cations minéraux (Na+, Mg2+, Al3+, etc.) pour former des polymères minéraux, par exemple, avec les ions Mg2+, un pyroxène de formule [MgSiO3]n3.

Les chaînes polysiloxaniques peuvent être également reliées entre elles par l'intermédiaire de liaisons covalentes polaires, ce qui conduit à la silice, macromolécule tridimensionnelle (SiO2)n3,8.

Le remplacement de certains atomes de silicium de la chaîne polysiloxanique par des atomes d'aluminium conduit à d'autres silicates polymères minéraux naturels, bi- ou tridimensionnels, les aluminosilicates.

Parmi les autres structures polymères minérales, il faut mentionner le diamant et le graphite7,8,3.
1. Le diamant. Dans le réseau du diamant, chaque atome de carbone est entouré de quatre autres atomes de carbone. Ces tétraèdres s'enchaînent pour donner une macromolécule tridimensionnelle (C3D).
2. Le graphite a une structure en feuillets. Les atomes de carbone sont unis suivant un pavage hexagonal plan, l'ensemble formant une macromolécule bidimensionnelle (C2D).
Polymères synthétiques
Exemples

Certains polymères minéraux peuvent être produits par synthèse.

On en trouve par exemple dans une famille d'aluminosilicates appelés zéolithes.
Le silicium n'existe pas à l'état de corps simple dans la nature7. On peut produire par synthèse un silicium cristallin dont la structure est analogue à celle du diamant3.

Polymères homo-chaînes dont la chaîne principale est construite avec les atomes d'un seul élément. Ces éléments appartiennent surtout à la colonne 14 du tableau périodique :
silicium-silicium : polysilanes ;
germanium-germanium : polygermanes ;
étain-étain : polystannanes. L'étain est le seul élément métallique connu qui forme des polymères organométalliques composés d'une chaîne d'atomes métalliques liés entre eux par des liaisons covalentes.

Polymères hétéro-chaînes dont la chaîne principale comprend plus d'un type d'atomes, la plupart du temps deux éléments alternent le long de la chaîne principale :
bore-azote : polyborazylènes ;
silicium-oxygène : polysiloxanes (silicones) comme le polydiméthylsiloxane (PDMS), polyméthylhydrosiloxane (PMHS) et polydiphénylsiloxane (PDPS) ;
phosphore-azote : polyphosphazènes et leurs précurseurs, le polydichlorophosphazène ;
soufre-azote : polythiazyles (SN)x, appelé aussi polymère de nitrure de soufre.

Soufre : polysulfures.

Polymérisation

Les polymères sont formés, comme les polymères organiques, par :

polymérisation par étapes : polysiloxanes ;
polymérisation en chaîne : polysilanes ;
polymérisation par ouverture de cycle : polydichlorophosphazène.

Notes et références

↑ (en) « inorganic polymer [archive] », IUPAC, Compendium of Chemical Terminology (« Gold Book »), 2e éd. (1997). Version corrigée en ligne: (2006-).
↑ (en) « hybrid polymer [archive] », IUPAC, Compendium of Chemical Terminology (« Gold Book »), 2e éd. (1997). Version corrigée en ligne: (2006-).
↑ a, b, c, d et e Jean-Pierre Mercier, Gérald Zambelli, Wilfried Kurz, Traité des matériaux, vol. 1, 3e éd., Introduction à la science des matériaux, Presses polytechniques et universitaires romandes (1999), p. 93, 95, 96 (ISBN 2880744024) - Présentation en ligne [archive] - Lire en ligne [archive].
↑ Hélène Goudket, Study of organic and organo-mineral dye-doped polymers - Application to integrated lasers [archive], LCFIO, 27 juillet 2004
↑ (en) M. M. Labes, P. Love et L. F. Nichols, « Polysulfur nitride - a metallic, superconducting polymer », Chem. Rev., vol. 79, no 1,‎ 1979, p. 1–15 (DOI 10.1021/cr60317a002)
↑ Jacques Angenault, La Chimie – dictionnaire encyclopédique, 2e édition, Éditions Dunod, 1995 (ISBN 2100024973), p. 318, 510-516.
↑ a, b et c Maurice Bernard, Cours de chimie minérale , 2e éd., Premier cycle universitaire, Éditions Dunod (1994), p. 244, 248, 259, 261 (ISBN 2100020676).
↑ a et b Raymond Quelet, Précis de chimie, Tome 1 - Chimie générale, 9e éd., Presses universitaires de France, 1966, p. 188.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inorganic polymer » (voir la liste des auteurs).

Article connexe

Caténation

[masquer]
v · m
Polymères et dérivés
Généralités

Codes Familles Classification Grade Dégradation Monomère Comonomère Pré-polymère Oligomère Macromolécule Motif de répétition Groupe terminal Chaîne latérale Latex Caoutchouc synthétique Élastomère
Thermoplastique Silicone Plastomère Thermoplastique Thermodurcissable Polymère ionique
Ionomère Polyélectrolyte Polymère inorganique

Caractéristiques

Grandeurs caractéristiques Viscosité d'une solution polymère Homo- ou Copolymère Polymère ramifié
Polymère en étoile Polymère hyperbranché Dendrimère Taux de cristallinité Tacticité Débit calorifique Indice limite d'oxygène

Étude

Fractionnement Techniques d'analyse Morphologie Transitions de phase Propriétés mécaniques Rhéologie Polymère en solution Plasticité et endommagement Ignifugation Principe d'équivalence temps-température

Synthèse

Polymérisation en chaîne
Radicalaire Ionique
Anionique Cationique Coordinative Vivante
ATRP RAFT Télomérisation Polymérisation par étapes Polymérisation par ouverture de cycle
Polymérisation par ouverture de cycle par métathèse Modification chimique Polymère linéaire au réseau 3D Vulcanisation Procédé de polymérisation

Industrie et applications

Producteurs Plasturgie Matière plastique Big six Plastique renforcé de fibres Additifs Fibre Matériau composite Nanocomposite de polymère Biopolymère Bioplastique Adhésif Colle polyester Peinture Lubrifiant Polymère conducteur Polymère à cristaux liquides Polymère hydrosoluble

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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:00

En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.

Sommaire

1 Définitions
2 Propriétés
3 Cas particuliers
4 Liens externes

Définitions

Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :

r n = 2 a n cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )} {\displaystyle r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )}

où a est un réel positif et n un réel.
Propriétés

La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour | θ | ≤ π 2 n {\displaystyle |\theta |\leq {\tfrac {\pi }{2n}}} {\displaystyle |\theta |\leq {\tfrac {\pi }{2n}}}, fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles 2 k π n {\displaystyle {\tfrac {2k\pi }{n}}} {\displaystyle {\tfrac {2k\pi }{n}}}, avec k entier.

La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.

Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.

Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.

La longueur de la courbe vaut :

2 a 2 n ∫ 0 π 2 cos 1 n − 1 ⁡ θ d θ = a 2 n B ( 1 2 , 1 2 n ) = a 2 n π Γ ( 1 2 n ) Γ ( n + 1 2 n ) , {\displaystyle 2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,d\theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2n}})}{\Gamma ({\tfrac {n+1}{2n}})}},} {\displaystyle 2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,d\theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2n}})}{\Gamma ({\tfrac {n+1}{2n}})}},}

où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :

4 a 2 ∫ 0 π 2 cos 2 n ⁡ θ d θ = 2 a 2 B ( 1 2 , 1 n + 1 2 ) = 2 a 2 π Γ ( 1 n + 1 2 ) Γ ( 1 + 1 n ) . {\displaystyle 4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,d\theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{n}})}}.} {\displaystyle 4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,d\theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{n}})}}.}

La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre n/n+1.
Cas particuliers

Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :

n= 1/3 : sextique de Cayley
n= 1/2 : cardioïde
n=1 : cercle
n=2 : lemniscate de Bernoulli
n=3 : courbe de Kiepert

n=- 1/3 : cubique de Tschirnhausen
n=- 1/2 : parabole
n=-1 : droite
n=-2 : hyperbole équilatère
n=-3 : cubique de Kiepert

Liens externes

Spirale sinusoïdale sur Mathcurve
(en) Eric W. Weisstein, « Sinusoidal Spiral », MathWorld
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:01

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini désigne l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels. Il apparait dans la première axiomatisation de la théorie des ensembles, publiée par Ernst Zermelo en 1908, sous une forme cependant un peu différente de celle exposée ci-dessous.

Sommaire

1 Énoncé de l'axiome
2 L'ensemble des entiers naturels
2.1 Définition
2.2 Ordre
2.3 Axiomes de Peano
3 Variantes
3.1 Ordinaux
3.2 Version de Zermelo
4 Indépendance de l'axiome de l'infini
5 Notes
6 Bibliographie

Énoncé de l'axiome

Il existe plusieurs variantes de l'axiome, suivant par exemple que l'on dispose de la notion d'ordinal ou non. Une façon très intuitive serait de dire qu'un ensemble qui représente celui des entiers naturels existe. En fait on a juste besoin d'affirmer qu'un ensemble ayant pour éléments des représentations des entiers naturels (et éventuellement d'autres) existe.

Pour représenter les entiers naturels, on utilise un 0 et une opération successeur. Suivant les idées de von Neumann, on va représenter 0 par l'ensemble vide (qui a 0 éléments) et le successeur par la fonction x ↦ x ∪ {x}, qui à un ensemble associe celui obtenu en ajoutant l'ensemble de départ comme élément (et qui vérifie intuitivement que si x a n éléments, alors x ∪ {x} en a n + 1). L'existence de l'ensemble vide est assurée par un axiome ad hoc, ou par d'autres axiomes de la théorie. Pour un ensemble x donné, on peut former le singleton {x} par l'axiome de la paire, et la réunion x ∪ {x} par l'axiome de la réunion et à nouveau l'axiome de la paire.

On a évidemment que le successeur de tout ensemble est non vide : pour tout ensemble x, x ∪ {x} ≠ ∅. On montrera ensuite que, sur les entiers au moins, la fonction successeur est bien injective, ce qui assurera, avec la précédente propriété, qu'un ensemble qui contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments contient bien une copie des entiers, et donc est infini au sens intuitif. On prendra d'ailleurs cette représentation comme définition des entiers en théorie des ensembles.

L'axiome s'écrit donc :

Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x ↦ x ∪ {x},

c'est-à-dire dans le langage formel de la théorie des ensembles (le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire avec pour seul symbole non logique celui pour l'appartenance, « ∈ ») :

∃ A C l ( A ) {\displaystyle \exists A\quad {\rm {Cl}}(A)} {\displaystyle \exists A\quad {\rm {Cl}}(A)}

où Cl(Y) est le prédicat « ∅ ∈ Y et ∀ y (y ∈ Y ⇒ y ∪ {y} ∈ Y) », exprimant « Y est clos par successeur et ∅ lui appartient » (pour les abréviations « ∅ ∈ Y » et « y ∪ {y} ∈ Y », définies à partir de ∈, voir Axiome de l'ensemble vide, Axiome de la paire et Axiome de la réunion).
L'ensemble des entiers naturels
Définition

Informellement, l'ensemble A dont l'axiome de l'infini affirme l'existence contient pour chaque entier naturel un représentant, que l'on va prendre comme définition en théorie des ensembles. Par exemple 1 étant successeur de 0, et le singleton d'élément l'ensemble vide (c'est-à-dire 0) :

1 = 0 ∪ {0} = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0}.

De même, 2 en tant que successeur de 1, est la paire {0,1} :

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {∅, {∅}} = {0,1},

« et ainsi de suite ». L'existence de chacun de ces entiers est assurée sans axiome de l'infini. Une conséquence de cette « définition » (pour l'instant intuitive et informelle) est que chaque nombre entier est égal à l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent.

Pour formaliser le « et ainsi de suite », définissons le prédicat E n t ( x ) {\displaystyle {\rm {Ent}}(x)} {\displaystyle {\rm {Ent}}(x)} comme : ∀ A ( C l ( A ) ⇒ x ∈ A ) {\displaystyle \forall A\quad ({\rm {Cl}}(A)\Rightarrow x\in A)} {\displaystyle \forall A\quad ({\rm {Cl}}(A)\Rightarrow x\in A)}.

Dans toute la suite, nous appellerons « entiers naturels » — ou « entiers » — les éléments x vérifiant Ent(x).

Avec cette définition, 0 est un « entier » — formellement : on a Ent(0) — et le successeur x+ de tout « entier » x est un « entier » — Ent(x) ⇒ Ent(x+), et l'axiome de l'infini équivaut à

∃ ω ∀ x ( E n t ( x ) ⇔ x ∈ ω ) {\displaystyle \exists \omega \quad \forall x\quad ({\rm {Ent}}(x)\Leftrightarrow x\in \omega )} {\displaystyle \exists \omega \quad \forall x\quad ({\rm {Ent}}(x)\Leftrightarrow x\in \omega )},

c'est-à-dire :

La classe des entiers naturels est un ensemble.

En effet :

soit A un ensemble vérifiant Cl(A) dont l'existence est assurée par l'axiome de l'infini. Alors, l'existence de l'ensemble ω est assurée par le schéma d'axiomes de compréhension et son unicité par l'axiome d'extensionnalité, en définissant ω comme l'intersection (donc le plus petit au sens de l'inclusion) de tous les ensembles contenant 0 et clos par successeur (A n'intervient que pour pouvoir définir ω en tant qu'ensemble, mais ω ne dépend pas de A) :

ω = { x ∈ A | Ent(x) } ;

réciproquement, soit ω un ensemble dont les éléments sont les entiers naturels. Alors, ω vérifie Cl(ω).

La définition même de l'ensemble ω donne un énoncé du principe de récurrence sur les entiers : tout ensemble auquel 0 appartient et qui est clos par successeur est un sur-ensemble de ω. On peut en donner un énoncé un peu plus familier mais équivalent en théorie des ensembles par le schéma de compréhension, on note x+ le successeur de x, on a alors pour une propriété arbitraire exprimée dans le langage de la théorie des ensembles par la formule P x a1…ak (pas d'autre variable libre) :

∀ a1, … ,ak{ [ P 0 a1…ak et ∀ y ∈ ω (P y a1…ak ⇒ P y+ a1…ak)] ⇒ ∀ x ∈ ω P x a1…ak }
(toute propriété vraie en 0 et qui passe au successeur sur les entiers est vraie pour tous les entiers).

Par exemple : tout élément de ω est un ordinal fini.

La récurrence est valide pour toute propriété exprimée dans le langage de la théorie des ensembles. Ce n'est pas anodin : cela fait de cette récurrence une propriété beaucoup plus forte que la récurrence de l'arithmétique de Peano (comme théorie du premier ordre), le langage de la théorie des ensembles étant strictement plus expressif que celui de l'arithmétique de Peano.
Ordre

L'axiome de l'infini nous a permis de démontrer, grâce à la propriété de récurrence sur les éléments de ω, que tout entier naturel est un ordinal fini.

La réciproque est vraie même sans cet axiome, grâce à la propriété de récurrence sur les ordinaux :

si ∀ x ∈ δ [ ( (∀ y ∈ x) Ent(y) ) ⇒ Ent(x) ] alors (∀ n ∈ δ) Ent(n),

appliquée au cas où δ est un ordinal fini : dans ce cas, pour tout élément x de δ, ou bien x est le successeur de l'un de ses éléments — donc x est entier dès que ses éléments le sont — ou bien x = 0, qui est lui aussi entier ; la propriété de récurrence sur les ordinaux permet alors d'affirmer que tout élément n d'un ordinal fini δ est entier, autrement dit : tout ordinal fini n est un entier.

Par conséquent (avec l'axiome de l'infini) :

ω est l'ensemble des ordinaux finis.

L'inclusion est donc un bon ordre sur ω, l'ordre strict associé est l'appartenance, et ω est transitif (∀x∈ω, x⊂ω), de même que tous ses éléments. C'est le plus petit ordinal infini.
Axiomes de Peano

Puisque tous les éléments de ω sont des ordinaux, l'application successeur, de ω dans lui-même est injective. De plus, l'ensemble vide n'est pas un successeur. Enfin, la propriété de récurrence est satisfaite. On a vérifié ainsi les axiomes de Peano, qui sont donc des théorèmes dans ce contexte, et qui associés aux axiomes de la théorie des ensembles, permettent de construire les ensembles de nombres usuels comme les relatifs, les rationnels, les réels, les complexes… L'axiome de l'infini a permis de définir un ensemble ω qui représente fidèlement les entiers naturels, en particulier parce qu'il vérifie les axiomes de Peano (qui deviennent donc des théorèmes) :

∀x ∈ ω x+ ≠ 0 ;
∀x ∈ ω ∀y ∈ ω (x+ = y+ ⇒ x = y) ;
∀ X { [ 0 ∈ X et ∀ y(y ∈ X ⇒ y+ ∈ X)] ⇒ ω ⊂ X }.

On a démontré directement au passage l'existence d'un bon ordre strict sur les entiers, dont on montre facilement qu'il est la clôture transitive du successeur, c'est-à-dire l'ordre usuel sur les entiers.

Une fois ces propriétés démontrées, on peut ignorer la façon dont les entiers ont été construits pour les développements mathématiques usuels. On montre en particulier le principe de définition par récurrence qui permet d'introduire par exemple l'addition, la multiplication, l'exponentielle, etc. Le principe de définition par récurrence permet également de montrer qu'en théorie des ensembles deux structures munies d'un 0 et d'une opération successeur et qui vérifient ces trois axiomes sont isomorphes1. La façon dont on les a construits n'est donc pas très importante.

Par là même l'énoncé de l'axiome de l'infini n'a pas le caractère intrinsèque des autres axiomes : l'existence de n'importe quel ensemble qui permet une construction analogue convient. De plus, grâce à la définition par récurrence et au schéma de remplacement, on montre que l'existence de n'importe quel ensemble représentant les entiers a pour conséquence l'existence d'un autre ensemble représentant les entiers, avec un autre choix pour le 0 et le successeur.

Pour relativiser ce qui précède, il faut quand même ajouter que cette construction est particulièrement importante en théorie des ensembles. D'une part elle se généralise aux ordinaux et cette construction des ordinaux joue un rôle fondamental dans la théorie des ensembles moderne. D'autre part elle correspond à l'idée intuitive qui est de caractériser les classes d'équipotence des ensembles finis en en donnant un représentant par classe (chaque entier de von Neumann obtenu en appliquant n fois le successeur à partir de 0, a bien n éléments, (n étant l'entier au sens intuitif), et on choisit de définir un entier comme l'ensemble de tous les entiers qui le précèdent. Cette construction (pour les ordinaux en général) a d'ailleurs été découverte plusieurs fois : si elle a été introduite par von Neumann en 1923, elle avait été développée de façon plus informelle dans deux articles de Dmitry Mirimanoff en 1917, et par Zermelo en 1915 dans des écrits non publiés2.
Variantes

Il existe plusieurs variantes pour l'énoncé de l'axiome. Celle donnée au-dessus fait directement référence à la construction la plus usuelle des entiers en théorie des ensembles et se développe naturellement dans la théorie de Zermelo (on n'a jamais eu besoin du schéma d'axiomes de remplacement). Cependant il existe d'autres énoncés de l'axiome avec des variations plus ou moins importantes.
Ordinaux

Les ordinaux de la théorie des ensembles (sans axiome de l'infini) sont définis comme les ensembles transitifs (strictement) bien ordonnés par l'appartenance. L'ensemble vide est un ordinal et tout successeur d'un ordinal est un ordinal. Par conséquent, les entiers non nuls sont des ordinaux successeurs. Les ordinaux non vides et non successeurs sont appelés ordinaux limites. Ce sont les ordinaux auxquels l'ensemble vide appartient et qui sont stables par successeur.

Un énoncé possible de l'axiome de l'infini3 est le suivant :

Il existe un ordinal limite.

Il est équivalent à celui donné ci-dessus. En effet, on a montré que ω est un ordinal, et c'est même un ordinal limite (car non vide et stable par successeur). Réciproquement, tout ordinal limite α vérifie Cl(α).

Les deux énoncés sont donc équivalents, modulo les autres axiomes de la théorie des ensembles (ceux de Zermelo suffisent).
Version de Zermelo

La version de Zermelo de l'axiome de l'infini est qu'il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide, et tel que, si x appartient à cet ensemble, alors le singleton {x} lui appartient également4.
Indépendance de l'axiome de l'infini

Dans la théorie ZFC, si on omet l'axiome de l'infini, la collection des entiers naturels peut être une classe propre, c'est-à-dire que l'axiome de l'infini est bien nécessaire pour l'existence de ω. En effet on montre que dans un univers de la théorie des ensembles, Vω (voir axiome de fondation), la classe des ensembles héréditairement finis (les ensembles finis dont les éléments sont des ensembles finis, et ainsi de suite), est un modèle de tous les axiomes de ZFC sauf l'axiome de l'infini. En effet dans ce cas tous les ordinaux sont des entiers, or la classe des ordinaux est forcément une classe propre (voir paradoxe de Burali-Forti).

Ce modèle montre donc également que l'axiome de l'infini est indépendant des autres axiomes de ZFC, bien sûr à supposer que ZFC soit une théorie cohérente.
Notes

↑ Cela n'a de sens qu'à l'intérieur d'un même univers de la théorie des ensembles ; il peut tout à fait y avoir deux univers différents de la théorie des ensembles qui n'ont pas les mêmes entiers.
↑ (en) Akihiro Kanamori, The higher infinite : large cardinals in set theory from their beginnings, Berlin New York, Springer, 2003 (ISBN 3-540-00384-3, lire en ligne [archive]), voir ref 14, p. 30.
↑ Krivine (98) p. 36
↑ Ernst Zermelo (1908) Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen 65: 261-281, axiome VII.

Bibliographie
Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions]
Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions]
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:03

Peter Sinfield - Envelopes Of Yesterday (Manticore 1973).
https://www.youtube.com/watch?v=2Nbt50B9Qu4&list=PL94gOvpr5yt3otSfhm2eNDuokZLRG22_a&index=6

Lettre de Victor Hugo à Juliette Drouet
“Il y a un éden derrière nous, et un paradis devant nous.


Victor Hugo (26 février 1802 – 22 mai 1885), géant de la littérature française et universelle, symbole de la modernité dans la littérature du XIXème siècle, esprit visionnaire et écrivain engagé avant l’heure, est l’auteur, entre autres, des Misérables. Le 22 mai 1885, ce monstre sacré des lettres françaises s’éteignait. Sa vie fût marquée par de nombreuses conquêtes, entre autres Juliette Drouet.

16 février 1860

La vie avance, l’amour persiste. Il y a un éden derrière nous, et un paradis devant nous. Car pour ceux qui se sont aimés dans la vie et qui entrent dans la mort en s’aimant, la tombe est étoilée ; c’est la porte du ciel. Que Dieu me donne la vie avec toi et la mort avec toi, voilà ce que je lui demande dans ma prière de tous les soirs. L’amour vieilli est de l’amour religieux ; il y a de la prière dans son baiser.

Cher doux ange, vieillissons donc avec joie, car le grand rajeunissement est proche. Il s’appelle l’éternité. L’amour dans l’éternité, quelle aurore ! — Aimons-nous et prions.

Victor Hugo

et

Le Hérisson :

VPL Astrobiology Colloquium Series
Microbe-Mineral Interactions: Exploring the Use of Microbes for Uranium Bioremediation
Presenter Photo: Yonqin Jiao Presenter: Yonqin Jiao (Lawrence Livermore National Laboratory)
When: October 18th, 2016 3PM PDT
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Depleted uranium is a widespread environmental contaminant that poses a major threat to human health. In contrast to humans and animals where small amount of uranium can cause damage to kidneys, liver and heart, it is well known that some bacteria can tolerate high levels of uranium and influence its mobility and bioavailability in the environment. As a non-pathogenic bacterium, Caulobacter crescentus is an attractive bioremediation candidate. Our results showed that Caulobacter not only endures a high concentration of uranium, but immobilizes uranium by promoting mineral precipitation, highlighting a good potential for use in uranium bioremediation. Research efforts in deciphering uranium sensing and resistance mechanisms will also be discussed.

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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:03

Loi du déplacement de Wien
Graphique représentant l'évolution de la densité spectrale d'énergie émise par un corps noir en fonction de la longueur d'onde pour plusieurs températures. On y voit que plus la température est élevée plus le maximum de la courbe se situe à une longueur d'onde faible : la loi de déplacement de Wien permet de rendre compte de cette observation.

En physique, la loi du déplacement de Wien, ainsi nommée d'après son découvreur Wilhelm Wien, est une loi selon laquelle la longueur d'onde à laquelle un corps noir émet le plus de flux lumineux énergétique est inversement proportionnelle à sa température. La loi de Wien se déduit de la loi de Planck du rayonnement du corps noir.

La loi de Planck décrit la distribution de l'énergie W(λ) rayonnée en fonction de la température T du corps noir. Selon la loi de Planck, à une température T donnée, l'énergie W(λ) passe par un maximum Wmax pour une longueur d'onde λmax.

La loi de Wien décrit la relation liant la longueur d'onde λmax, correspondant au pic d'émission lumineuse du corps noir, et la température T (exprimée en kelvin). On retient généralement, en exprimant la longueur d'onde en mètre et la température en kelvin :

λ m a x = h c 4 , 965 1 ⋅ k T = 2 , 898 ⋅ 10 − 3 T {\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }={\frac {\mathrm {h} \mathrm {c} }{4,965\,1\cdot \mathrm {k} \mathrm {T} }}={\frac {2,898\cdot 10^{-3}}{\mathrm {T} }}} \lambda _{{{\mathrm {max}}}}={\frac {{\mathrm {h}}{\mathrm {c}}}{4,965\,1\cdot {\mathrm {k}}{\mathrm {T}}}}={\frac {2,898\cdot 10^{{-3}}}{{\mathrm {T}}}}

ou h est la constante de Planck, k est la constante de Boltzmann, et c est la vitesse de la lumière.

Est alors ainsi définie, la constante de Wien, notée b ou σ w {\displaystyle \sigma _{w}} \sigma _{{w}} :

σ w = 2 , 898 ⋅ 10 − 3 m . K {\displaystyle \sigma _{w}=2,898\cdot 10^{-3}\;\mathrm {m.K} } \sigma _{{w}}=2,898\cdot 10^{{-3}}\;{\mathrm {m.K}}

Démonstration

La loi de Wien dans sa version corrigée par Planck :

M λ = 2 h c 2 λ 5 1 exp ⁡ ( h c k λ T ) − 1 {\displaystyle \qquad M_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {hc}{k\lambda T}}\right)-1}}} \qquad M_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {hc}{k\lambda T}}\right)-1}}

permet de déterminer la longueur d'onde pour laquelle la luminance énergétique spectrale est maximale. En dérivant son expression après avoir posé x = h c k λ T {\displaystyle x={\frac {hc}{k\lambda T}}} x={\frac {hc}{k\lambda T}} et en cherchant les valeurs de x qui annulent cette dérivée, on obtient l'équation :

e − x + 0 , 2 x − 1 = 0 {\displaystyle e^{-x}+0,2x-1=0} e^{{-x}}+0,2x-1=0,

dont la seule solution positive est x = 4 , 965 1 {\displaystyle x=4,965\,1} x=4,965\,1. Ainsi :

λ m = h c 4 , 965 1 k T {\displaystyle \lambda _{m}={\frac {hc}{4,965\,1\mathrm {kT} }}} \lambda _{{m}}={\frac {hc}{4,965\,1{\mathrm {kT}}}}

Quelques conséquences

Il découle de cette loi que plus un objet est chaud, plus la longueur d'onde du rayonnement émis le plus intensément est courte.

Par exemple, la température de surface du Soleil est 5780 K, ce qui correspond à un maximum d'émission vers 500 nm, au milieu du spectre visible (du violet au rouge). Cette lumière nous apparaît comme jaune après diffusion dans l'atmosphère (le Soleil est perçu comme blanc dans l'espace car la quantité de lumière émise par le Soleil dans tout le domaine visible est suffisante pour qu'il paraisse blanc à l'observateur). Les étoiles plus chaudes émettent à des longueurs d'onde plus courtes et apparaissent bleutées ; les étoiles plus froides nous semblent rougeâtres.

Dans des conditions typiques, notre environnement a une température d'environ 300 K et émet ainsi dans l'infrarouge moyen, aux alentours de 10 µm. Cela a de multiples conséquences, par exemple :

la plupart des caméras à vision nocturne fonctionnent sur le principe de la détection de ce rayonnement thermique;
la difficulté pour les astronomes à observer dans l'infrarouge moyen car le rayonnement ambiant se mêle au signal provenant de l'objet étudié.

Articles connexes

Loi de Wien
Corps noir
Constantes physiques
Unités de mesure en physique
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:04

En mathématiques, le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi incohérente ou inconsistante). Dit brièvement, il énonce que, comme on peut définir la borne supérieure d'un ensemble d'ordinaux, si l'ensemble de tous les ordinaux existe, on peut définir un ordinal supérieur strictement à tous les ordinaux, d'où une contradiction.

L'argument utilise donc la notion d'ordinal, c’est-à-dire essentiellement celle de bon ordre : il est plus technique, bien que l'argument ne soit pas si éloigné de celui du paradoxe de Russell qui est plus simple à comprendre et à formaliser. Cependant, le paradoxe de Burali-Forti est le premier des paradoxes de la théorie des ensembles à être publié, six ans avant le paradoxe de Russell, et Georg Cantor en fait état dans sa correspondance, ainsi que du paradoxe du plus grand cardinal (dit de Cantor), dans les mêmes années. Par ailleurs, le paradoxe de Burali-Forti met directement en jeu la notion d'ordre, et non celle d'appartenance (même si aujourd'hui ces deux notions coïncident pour les ordinaux tels qu'ils sont définis en théorie des ensembles). Ainsi l'incohérence de certaines théories a été établie en dérivant directement le paradoxe de Burali-Forti1. C'est ainsi que John Barkley Rosser a démontré en 1942 l'inconsistance de la première version des New Foundations2 de Willard Van Orman Quine.

Sommaire

1 Énoncé du paradoxe
2 Les raisons du paradoxe
3 Solution dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel
4 Aspects historiques
4.1 Burali-Forti
4.1.1 Les définitions utilisées par Burali-Forti
4.2 Cantor
5 Articles connexes
6 Notes
7 Sources

Énoncé du paradoxe

Le paradoxe utilise la notion d'ordinal, une généralisation de la notion de nombre entier naturel, en tant qu'il représente un bon ordre. À tout bon ordre on associe un et un seul ordinal qui a la « même » structure d'ordre3. Les entiers sont les ordinaux finis. L'ensemble des entiers naturels est bien ordonné, et son ordinal est noté usuellement ω. La notion de nombre ordinal diffère de celle de nombre cardinal dès que l'on passe à l'infini (des ordinaux infinis distincts peuvent avoir même cardinal).

Pour des raisons qui tiennent à la notion même d'ordinal, on sait qu'un ensemble d'ordinaux est lui-même bien ordonné de façon naturelle. Si on admet que l'ensemble de tous les ordinaux existe, on montre qu'à cause de propriétés de clôture que vérifierait forcément un tel ensemble, l'ordinal correspondant à ce bon ordre serait strictement supérieur à celui de chacun de ses éléments. On est donc face à une contradiction : l'ordinal associé doit être strictement supérieur à lui-même.
Les raisons du paradoxe

Pour en dire plus, on est obligé d'être un peu plus précis sur les propriétés des bons ordres et des ordinaux. Tout d'abord on peut définir une notion d'isomorphisme d'ordre. Deux ensembles bien ordonnés (A, <A) et (B, <B) sont isomorphes s'il existe une bijection f de A dans B qui transporte la structure d'ordre, c’est-à-dire une bijection croissante de A dans B :

x <A y ⇔ f(x) <B f(y) .

Un ordinal est, si l'on veut, un bon ordre « à isomorphisme près » ; on parle parfois de type d'ordre. Sans entrer dans des détails formels, Les ordinaux doivent être définis de façon que pour tout bon ordre, il existe un et un seul ordinal isomorphe à ce bon ordre.

Une notion utile sur les bons ordres, qui permet de les comparer, est celle de section commençante ou segment initial. On appelle section commençante ou segment initial d'un ensemble ordonné (E, <) (on choisit l'ordre strict) un sous-ensemble F de E qui, s'il contient un élément de E, contient tous les éléments plus petits :

x ∈ F ⇒ (∀ y < x) y ∈ F .

Une section commençante propre de (E, <) est une section commençante non vide et différente de l'ensemble E. Une section commençante non vide d'un ensemble bien ordonné est bien ordonnée par l'ordre restreint à celle-ci. Pour comparer deux bons ordres, on pourra dire qu'un ensemble bien ordonné (A, <A) est strictement inférieur à un ensemble bien ordonné (B, <B) quand (A, <A) est isomorphe à une section commençante propre de (B, <B). Cette relation est un ordre strict, elle est transitive, par composition des deux morphismes en jeu, et irréflexive.

Proposition (irreflexivité). Un ensemble bien ordonné ne peut être isomorphe à une de ses sections commençantes propres.

Cette proposition se démontre par induction sur le bon ordre en jeu (c’est-à-dire essentiellement en utilisant la définition même de bon ordre).

Une propriété essentielle, due à Cantor, est celle de trichotomie. Elle énonce que si l'on restreint l'ordre strict précédent aux ordinaux, il définit un ordre total (ou qu'il définit un ordre total sur les bons ordres à isomorphisme près, ce qui revient au même).

Proposition (trichotomie). Étant donnés deux ensembles bien ordonnés (A, <A) et (B, <B),

soit (A, <A) est isomorphe à une section commençante propre de (B, <B),
soit (A, <A) est isomorphe à (B, <B),
soit (B, <B) est isomorphe à une section commençante propre de (A, <A).

et ces trois cas sont exclusifs.

Cette propriété se démontre en utilisant le principe de définition par induction sur un bon ordre.

On a donc montré comment définir un ordre total sur un ensemble d'ordinaux : un ordinal α est strictement inférieur à un ordinal β s'il est isomorphe à une section commençante propre de β. Mais cet ordre est également un bon ordre. En effet, soit A un ensemble non vide d'ordinaux et α un élément de A. On montre que l'ensemble des ordinaux de A inférieurs ou égal à α est, à isomorphisme près, inclus dans α donc a un plus petit élément qui est le plus petit élément de A.

Proposition (plus petit élément). Tout ensemble d'ordinaux non vide a un plus petit élément.

Un ensemble d'ordinaux est donc naturellement bien ordonné : tous ses sous-ensembles non vides ont bien un plus petit élément. On peut dériver le paradoxe de Burali-Forti, restreint à cet ensemble, en lui demandant de vérifier ces deux propriétés de clôture (la première suffirait en fait) :

Un ensemble d'ordinaux est clos par le bas si, quand il contient un ordinal, il contient tous les ordinaux qui lui sont inférieurs (c'est une autre façon de parler de section commençante).
Un ensemble d'ordinaux est clos par successeur s'il contient le successeur de chacun de ses éléments.

Un successeur d'un bon ordre (E, <) est un bon ordre obtenu en ajoutant « au bout » de E un nouvel élément, soit e, c’est-à-dire que tout élément de E est strictement inférieur à e. Il est par définition strictement supérieur au bon ordre (E, <). Tous les bons ordres successeurs de (E, <) sont bien-sûr isomorphes, et on peut donc définir le successeur d'un ordinal.

La première propriété assure que le bon ordre obtenu sur l'ensemble d'ordinaux est supérieur ou égal à tous ses éléments, la seconde que, s'il vérifie aussi la première, il leur est strictement supérieur, puisqu'il est supérieur au successeur de chacun de ses éléments.

L'ensemble de tous les ordinaux vérifierait forcément ces deux propriétés de clôture, donc ne peut exister sous peine de paradoxe. Or la propriété « être un ordinal », doit pouvoir se définir formellement. Une utilisation non restreinte du schéma d'axiomes de compréhension conduit donc à une contradiction.
Solution dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

Tout comme pour le paradoxe de Russell, dont il a d'ailleurs d'une certaine façon la structure logique (il s'agit d'un raisonnement diagonal), le paradoxe de Burali-Forti se résout en restreignant le schéma d'axiomes de compréhension. Si l'on suit la définition naturelle d'ordinal, on le définirait comme une classe d'isomorphie de bons ordres pour l'isomorphisme d'ordre décrit au paragraphe précédent. Mais, à cause de la restriction du schéma de compréhension, une classe d'isomorphie n'est pas un ensemble. La classe d'isomorphie de l'ordre à un élément regroupe déjà tous les singletons (muni de la relation vide comme ordre strict). Par axiome de la réunion, on aurait l'ensemble de tous les ensembles, donc le paradoxe de Russell par le schéma de compréhension.

Cependant, il est possible de construire de façon uniforme un représentant par classe d'isomorphie : ce sont les ordinaux de von Neumann. On peut alors définir dans le langage de la théorie des ensembles la propriété « être un ordinal » (un ordinal de von Neumann est un ensemble transitif bien ordonné par l'appartenance). On peut donc parler de la classe des ordinaux. Il n'y a plus de contradiction, le paradoxe de Burali-Forti se traduit en :

la classe des ordinaux est une classe propre.

Aspects historiques

Le paradoxe de Burali-Forti a été publié pour la première fois dans un article de cet auteur de 1897, mais sous une forme différente de celle décrite ci-dessus. Tout laisse penser cependant que Cantor connaissait ce paradoxe à une date antérieure. La date de 1895 ou une lettre à David Hilbert de 1896 sont souvent citées en référence. Il semble que ce soit Philip Jourdain qui les ait le premier avancées4. On cite souvent un article5 paru en 1905 de Felix Bernstein, qui était étudiant de Cantor, mais celui-ci se réfère à Jourdain. Par exemple Jean Cavaillès cite6 Bernstein. Même si ces dates sont vraisemblables, aucune lettre de 1896 n'a été retrouvée7. Dans une lettre à Hilbert de 18978, Cantor donne son explication du paradoxe du plus grand cardinal, mais en faisant référence à la série des aleph, indexés par les ordinaux. On peut donc penser qu'il connait aussi le paradoxe de Burali-Forti, d'autant que la lettre témoigne de l'état avancé de sa réflexion à ce sujet. Quoi qu'il en soit, à la fin des années 1890, à Göttingen, le paradoxe de Burali-Forti, et l'analyse qu'en fait Cantor sont connus de Hilbert et son entourage, dont Zermelo.
Burali-Forti

Burali-Forti déclare, dès la première phrase de sa note de 1897, que l'objet principal de celle-ci est de montrer qu'il existe des nombres transfinis qui ne sont pas comparables, c’est-à-dire la négation de la propriété de trichotomie (voir ci-dessus) démontrée par Cantor et publiée la même année, quelques mois après la note de Burali-Forti. Pour prouver ce résultat, Burali-Forti introduit la notion d’ensemble parfaitement ordonné, qu'il pense, à tort, être plus forte que celle d'ensemble bien ordonné (introduite par Cantor en 1883)9. Il définit ensuite les ordinaux, en tant que types d'ordre d'ensembles parfaitement ordonnés. Il ordonne ainsi la classe de ses « ordinaux » : un ensemble ordonné (A, <A) est strictement plus petit qu'un ensemble ordonné (B,<B), s'il existe une injection croissante de (A, <A) dans (B,<B), mais pas de bijection croissante, ce qui pour les « vrais » ordinaux, équivaut à l'ordre par section commençante décrit ci-dessus. Puis il montre que, si l'on suppose que cet ordre est total (propriété de trichotomie), alors la classe des « ordinaux » (en son sens) est parfaitement ordonnée. On ne peut faire de raisonnement par induction sur un ordre parfait, cependant cette notion suffit pour que Burali-Forti puisse montrer que les ordinaux tels qu'il les a définis, ne sont pas isomorphes à une de leurs sections commençantes propres, alors que cela est faux pour les ordres totaux en général, et, comme il le remarque lui-même, pour ce qu'il croit être les bons ordres (sous une forme un peu différente). Cependant, comme Burali-Forti pense que les ordres parfaits sont de bons ordres, il peut tout de même en déduire que la propriété de trichotomie est fausse a fortiori pour ceux-ci.

Le raisonnement de Burali-Forti est donc bien celui décrit ci-dessus, même si celui-ci ne l'applique pas à la bonne notion, et en tire donc une conclusion fausse pour les « vrais » bons ordres, mais juste pour les ordres parfaits, ou ce qu'il croit être les bons ordres. Les ordinaux de Burali-Forti, qui sont associés aux ordres parfaits, ne sont effectivement pas totalement ordonnés. Simplement sa preuve ne peut être considérée comme acceptable, elle ne peut se formaliser dans une théorie des ensembles raisonnable, puisqu'elle se transposerait telle quelle aux vrais ordinaux, pour lesquels le résultat est faux.

Dans une note de quelques lignes parue la même année dans la même revue (voir références), Burali-Forti fait lui-même remarquer qu'il s'est trompé dans sa définition de bon ordre, et que la notion d'ordre parfait est en fait plus faible que celle de bon ordre au sens de Cantor. Curieusement, il n'en tire aucune conclusion, si ce n'est que « le lecteur pourra vérifier quelles propositions dans ma note [...] sont également vérifiées par les classes bien ordonnées ». Cependant son raisonnement, comme déjà dit, s'applique sans aucun problème aux bons ordres, et donc aux ordinaux au sens de Cantor, et il semble que cela fut clair assez rapidement pour les mathématiciens qui s'intéressaient à ces problèmes, ce qui fait bien du paradoxe de Burali-Forti le premier paradoxe connu de théorie des ensembles, nonobstant le fait qu'il pourrait être connu de Cantor avant 1897.
Les définitions utilisées par Burali-Forti

Les ordres parfaits ne semblent guère avoir survécu à la note de Burali-Forti. Cette notion est de toute façon clairement moins utile que celle de bon ordre, et de principe d'induction qui lui est associée. Les définitions qui suivent n'ont donc essentiellement qu'un intérêt historique. On ne suit pas exactement la terminologie de Burali-Forti, même si elle resterait assez compréhensible pour un lecteur moderne.

Appelons successeur d'un élément dans un ensemble totalement ordonné le plus petit des majorants stricts de cet élément : il n'existe pas forcément, mais s'il existe il est bien unique. De façon analogue, appelons prédécesseur d'un élément le plus grand des minorants stricts (s'il existe) de cet élément10.

Burali-Forti pense erronément qu'un ensemble bien ordonné (E,<) est un ensemble totalement ordonné qui satisfait les deux propriétés suivantes :

(E,<) a un plus petit élément ;
Tout élément de (E,<) qui possède un majorant strict possède un plus petit majorant strict, c’est-à-dire un successeur.

Pour définir les ensembles parfaitement ordonnés, il ajoute une troisième propriété :

Tout élément de E est le successeur itéré un nombre fini de fois, éventuellement nul, d'un élément qui n'a pas de prédécesseur.

Pourquoi introduire cette troisième propriété ? Burali-Forti donne un exemple d'ordre qui satisfait les deux premières mais pas la suivante : il suffit de mettre bout à bout une copie des entiers, suivie d'une copie dans l'ordre inverse, {0}×N ∪ {1}×Z- ordonné lexicographiquement pour être formel. Si l'on prend le successeur de cet ordre, celui obtenu en ajoutant un élément « au bout », {0}×N ∪ {1}×(Z- ∪ {1}) pour être formel, on obtient un ordre isomorphe. On ne peut donc espérer montrer l'irreflexivité de l'ordre de comparaison entre ensembles ordonnés défini par section commençante, et même si ce n'est pas celui-ci que Burali-Forti utilise, il a tout de même besoin de pouvoir construire un majorant strict.

Par contre l'exemple ci-dessus ne satisfait pas la troisième propriété. Dès que la troisième propriété est vérifiée, un ordre ne peut être isomorphe à son successeur. En effet soit l'ordre initial n'avait pas de plus grand élément, mais alors l'ordre successeur en a forcément un, soit il avait un plus grand élément et on a le résultat par récurrence ordinaire (sur les entiers) sur le nombre d'itérations nécessaire pour se ramener à un élément sans prédécesseur (il faut une itération de plus pour l'ordre successeur). Cela montre donc que le successeur d'un ensemble parfaitement ordonné est un majorant strict, propriété qui suffit pour l'argument de Burali-Forti (qui rappelons-le raisonne par l'absurde, en supposant la propriété de trichotomie).

Un bon ordre est un ordre parfait : s'il ne l'était pas la suite des prédécesseurs itérés d'un élément donnerait un ensemble sans plus petit élément. Un ordre est parfait quand chaque élément vit, en quelque sorte, dans une copie des entiers naturels, et quand il y un plus petit élément. Ce n'est pas suffisant pour assurer la propriété de bon ordre, car rien n'indique que ces copies des entiers soient elles-mêmes bien ordonnées. Par exemple, en ajoutant un plus petit élément à Z × N (ordonné lexicographiquement), on obtient un ordre parfait qui n'est pas un bon ordre.
Cantor

On trouve le paradoxe de Burali-Forti (le nom de ce dernier n'est pas cité) expliqué de façon particulièrement lumineuse dans deux lettres de Georg Cantor à Dedekind datées de 189911. Cantor en donne une solution qui, si elle n'est pas vraiment satisfaisante d'un point de vue axiomatique, est compatible avec l'axiomatisation ultérieure de la théorie des ensembles.

Cantor distingue deux sortes de multiplicités définies [(de)bestimmte Vielheit] que nous appellerions aujourd'hui classes.

Les multiplicités dont l'existence aboutit à une contradiction, qu'il appelle multiplicités inconsistantes [(de)inconsistente Vielheit] ou absolument infinies [(de)absolut unendliche Vielheit], et que nous appellerions aujourd'hui classes propres, avec une définition précise et formelle cependant, ce qui n'est pas le cas de la définition de Cantor.
Les multiplicités dont « la totalité des éléments […] peut être pensée sans contradiction comme étant réunies […] en « une seule chose » » qu'il appelle multiplicités consistantes ou ensembles12 [(de) Menge], qui correspondent à ce que nous appelons toujours ensembles aujourd'hui.

Cantor appelle Ω le système de tous les ordinaux13. Il rappelle la propriété de trichotomie, et le fait que toute partie non vide de Ω a un plus petit élément. Comme un ordinal a même type d'ordre (est isomorphe) à l'ensemble des ordinaux qui lui sont strictement inférieurs, il en déduit que si Ω était un ensemble, donc un ordinal, il serait strictement supérieur à lui-même, d'où une contradiction. Pour Cantor, la classe de tous les ordinaux, Ω, est donc une multiplicité inconsistante, ou absolument infinie, c’est-à-dire peu ou prou l'interprétation du paradoxe de Burali-Forti dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.

La distinction entre mutiplicités consistantes et inconsistantes, si elle n'est pas très formelle, n'est pas une notion amorphe et entièrement ad hoc : Cantor énonce une propriété dont Van Heijenoort remarque qu'elle est une version du schéma d'axiomes de remplacement, à savoir que deux multiplicités équivalentes, c’est-à-dire en bijection, sont soit toutes deux des ensembles, soit toutes deux inconsistantes. Cantor l'utilise pour montrer que la classe des alephs, la série des cardinaux indexés par les ordinaux, est également inconsistante, ce qui est connu sous le nom de paradoxe du plus grand cardinal, ou paradoxe de Cantor14. Cependant, se pose le problème de savoir comment déterminer si une multiplicité bien définie est consistante. Cantor pose lui-même la question dans une lettre à Dedekind d'août 189915 : « […] on doit se demander d'où je sais que les multiplicités bien ordonnées ou suites auxquelles j'assigne les nombres cardinaux […] sont réellement des « ensembles » ». Cantor propose d'introduire de nouveaux axiomes dans le cas des cardinaux. Mais en l'absence par ailleurs d'une axiomatisation de la théorie des ensembles, cela semble difficile d'aller très loin dans cette voie.
Articles connexes

Paradoxe de Russell
Paradoxe de Cantor
Paradoxe de Richard
Paradoxe de Berry

Notes

↑ Sachant que si une contradiction est démontrable, tout est démontrable.
↑ Une théorie des ensembles pour laquelle on ne sait, dans sa version corrigée, démontrer de relation de cohérence avec les théories usuelles comme ZFC.
↑ La définition des ordinaux de von Neumann n'est pas connue à l'époque où Burali-Forti, et Cantor, puis Russell et bien d'autres se sont tout d'abord intéressés à ce paradoxe.
↑ Dans un article de 1904, « On the transfinite Cardinal Numbers of well-ordered aggregates », Philosophical Magazine vol. 60.
↑ (de) Felix Bernstein, « Über die Reihe der transfiniten Ordnungszahlen » [archive], Mathematische Annalen 60, 1905.
↑ Philosophie mathématique.
↑ Selon certains historiens, Jourdain, qui se fonde sur une lettre que lui a envoyée Cantor, aurait pu prendre ses indications de façon trop précise, et la lettre en question pourrait être celle de 1897, qui ne donne pas exactement un exposé du paradoxe de Burali-Forti, voir Meschkowski et Nilson, Georg Cantor Briefe, p. 389.
↑ Voir référence, Georg Cantor Briefe, pp. 388-389.
↑ La notion de bon ordre n'est pas encore bien établie à l'époque, van Heijenoort signale (voir références, préface de l'article) que Jacques Hadamard, un peu plus tard la même année, donne encore une définition erronée de bon ordre, lors d'une communication au premier congrès international des mathématiciens.
↑ Burali-Forti dit prédécesseur et successeur pour minorant et majorant, prédécesseur immédiat et successeur immédiat pour prédécesseur et successeur.
↑ Voir références, les deux lettres, du 28 juillet 1899 et du 3 août 1899, sont réunies en une seule par Zermelo dans son édition des œuvres de Cantor, et traduites ainsi dans Philosophie mathématique et A Source Book in Mathematical Logic.
↑ Cantor précise les traductions en français et en italien de ce terme dans sa lettre.
↑ L'argument est ici légèrement simplifié car Cantor ne considère pas 0 comme ordinal, et commence ceux-ci à 1.
↑ Il faut aussi l'axiome du choix si l'on veut formaliser complètement le raisonnement de Cantor.
↑ Voir Philosophie mathématique.

Sources

Cesare Burali-Forti (1897) Una questione sui numeri transfiniti, Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo 11 pp 154-164, sulle classi ben ordinate, ibid, p 260, (en)traductions en anglais de l'article de Burali-Forti de 1897 et de son addendum dans A source Book in Mathematical Logic 1879-1931, pp 104-112, avec une préface de Jean van Heijenoort.
(de)Georg Cantor (1899) Aus dem Briefwechsel zwischen Cantor und Dedekind (extraits de la correspondance entre Cantor et Dedekind) dans le volume édité par Zermelo en 1932, (en)traduction anglaise partielle dans A source Book in Mathematical Logic... pp 113-117.
(de)Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. édité par Ernst Zermelo. Berlin: Springer 1932. (Reprint: Springer, 1980.) – [1]. -88mb!.
(de)Georg Cantor Briefe, Herbert Meschkowski et Winfried Nilson (ed.), Springer 1991 ISBN 3-540-50621-7.
(en) Bertrand Russell (1903), The principles of mathematics, vol 1, Cambridge Univ. Press, (version en ligne disponible, incomplète au 4 janvier 2007), en fac simile sur le site de l'université du Michigan.
(en) A source Book in Mathematical Logic 1879-1931, Heijenoort J. van (ed.), (Harvard Univ. Press, Cambridge, 1967), ISBN 0-674-32450-1, ISBN 0-674-32449-8.
Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann 1962, contient, entre autres, les Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles de 1938, et une traduction de la correspondance Dedekind-Cantor qui avait été rassemblée et publiée par Jean Cavaillès et Emmy Noether en 1937.
Ivor Grattan-Guiness The rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Volume 76 (1974) version en ligne.
Paul R. Halmos -- Introduction à la théorie des ensembles, Mouton/Gauthier-Villars Ed., 1967 (traduction de Naive Set Theory, Van Nostrand, 1965).
(en) Justin T Miller -- An historical account of set-theoretic antinomies caused by the axiom of abstraction [2] visitée le 24/09/2006
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:05

Ordre lexicographique

Un ordre lexicographique est un ordre que l'on définit sur les suites finies d'éléments d'un ensemble ordonné (ou, de façon équivalente, les mots construits sur un ensemble ordonné). Sa définition est une généralisation de l'ordre du dictionnaire : l'ensemble ordonné est l'alphabet, les mots sont bien des suites finies de lettres de l'alphabet. La principale propriété de l'ordre lexicographique est de conserver la totalité de l'ordre initial. On peut définir de façon analogue un ordre lexicographique sur des produits cartésiens d'ensembles ordonnés, dont les éléments sont donc des n-uplets, c’est-à-dire, si l'on veut, des suites finies de longueur fixée.

Sommaire

1 Définitions et propriétés
1.1 Ordre lexicographique sur un produit cartésien
1.1.1 Exemples
1.1.2 Propriétés
1.2 Généralisation aux produits cartésiens finis
1.2.1 Exemples
1.2.2 Propriétés
1.3 Ordre lexicographique sur des suites finies
1.3.1 Propriétés
2 Voir aussi

Définitions et propriétés

Bien que l'ordre du dictionnaire soit manipulé dès l'école primaire, on va commencer la formalisation par un cas simple, celui du produit cartésien binaire. C’est-à-dire que les mots de notre dictionnaire ne seront composés tout d'abord que de deux lettres.
Ordre lexicographique sur un produit cartésien

Les ensembles (A, ≤) et (B, ≤) sont tous deux ordonnés, l'ordre étant noté de la même façon pour les deux ensembles, une liberté qui ne devrait troubler personne. L'ordre lexicographique sur A × B, que l'on note encore ≤, est défini de la façon suivante, pour (a,b) et (a’,b’) deux couples de A × B :

(a,b) ≤ (a’,b’) si et seulement si [a < a’ ou (a = a’ et b ≤ b’)]

et on en déduit facilement la propriété analogue pour l'ordre lexicographique strict :

(a,b) < (a’,b’) si et seulement si [a < a’ ou (a = a’ et b < b’)].

Il s'agit bien de l'ordre du dictionnaire, par exemple :

lu < ne car l < n (on ne regarde que la première lettre)
le < lu car e < u (les premières lettres sont identiques, on regarde la seconde).

Le choix de la première composante pour commencer la comparaison est purement arbitraire, mais, comme illustré par l'exemple alphabétique qui précède, si l'on commence la comparaison par la seconde composante, on obtient un ordre différent.
Exemples

L'ordre lexicographique sur {0, 1} × {0, 1} ordonnés usuellement donne (0, 0) < (0, 1) < (1, 0) < (1, 1).
De façon générale l'ordre lexicographique sur {0, 1, … , n – 1} × {0, 1, … , p – 1} ordonnés usuellement est un ordre isomorphe à l'ordre usuel sur les entiers strictement inférieurs à np.
Si (A, ≤) est un ensemble ordonné, l'ordre lexicographique sur {0,1} × A revient à « mettre bout à bout » deux copies de A (la première associée à la première composante 0, la seconde à la première composante 1). Ainsi si N est l'ensemble des entiers naturels, ordonné usuellement — on l'appelle alors ω — {0,1} × N ordonné lexicographiquement est un bon ordre, qui n'est pas isomorphe à ω mais à l'ordinal ω + ω = ω2. On aura :

(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < … < (1, 0) < (1, 1) < (1, 2) < …

N × {0,1} ordonné lexicographiquement est un bon ordre isomorphe à 2ω = ω, l'ordre usuel sur N.
N × N ordonné lexicographiquement est un bon ordre isomorphe à l'ordinal ω2.

Ainsi (0, 0) est le plus petit élément, le suivant est (0, 1) puis (0, 2), (0, 3), …, (0, n), … , (1, 0), … , (2, 0), …

Propriétés

Si chacune des relations d'ordre initiales (sur A et B) est un ordre total, alors la relation d'ordre lexicographique sur A × B est un ordre total.

Si de plus chaque relation d'ordre initiale est un bon ordre, la relation d'ordre lexicographique sur A × B est également un bon ordre.

Généralisation aux produits cartésiens finis

Si l'on considère qu'un produit cartésien fini A1 × … × Ak, est défini à l'aide du produit cartésien binaire par :

A1 × A2 × … × Ak = A1 × (A2 × ( … × Ak)…)

(ou si on l'a défini autrement, qu'il y a une bijection canonique entre ces deux ensembles), on généralise naturellement, par récurrence, l'ordre lexicographique aux produits finis d'ensembles ordonnés.

Supposons que nous ayons défini l'ordre lexicographique pour les produits cartésiens de k ensembles ordonnés. Alors pour définir l'ordre lexicographique pour le produit de k+1 ensembles ordonnés, soient A1, A2, … , Ak × Ak+1, on ordonne lexicographiquement le produit cartésien binaire de A1, et du produit cartésien de k ensembles A2 × … × Ak × Ak+1, ce dernier étant lui-même ordonné lexicographiquement. C’est-à-dire que l'ordre lexicographique sur le produit d'ensembles ordonnés A1 × A2 × … × Ak+1 est défini ainsi à partir de l'ordre lexicographique sur A2 × … × Ak+1 (on définit l'ordre strict qui est noté < pour tous les ensembles en jeu) :

(a1, … , ak+1) < (b1, … , bk+1) si et seulement si :
a1 < b1 ou [ a1 = b1 et (a2, … , ak+1) < (b2, … , bk+1) ]

En décomposant le produit cartésien « en commençant par la fin », on obtient le même ordre, c’est-à-dire qu'en conservant les mêmes notations on a :

(a1, … , ak+1) < (b1, … , bk+1) si et seulement si :
(a1, … , ak) < (b1, … , bk) ou [ (a1, … , ak) = (b1, … , bk) et ak+1 < bk+1 ].

En « développant » la définition par récurrence de l’ordre lexicographique sur A1 × A2 × … × Ak, chacun de ces ensembles étant ordonné, on obtient :

(a1, … , ak) < (b1, … , bk) si et seulement si
a1 < b1 ou ( a1 = b1 et a2 < b2) ou ( a1 = b1 et a2 = b2 et a3 < b3) ou …… ou ( a1 = b1 et a2 = b2 et … et ak-1 = bk-1 et ak < bk)

Exemples

Si on ordonne lexicographiquement N × N × N, chacun étant ordonné usuellement, on obtient un bon ordre dénombrable correspondant à l'ordinal ω3, qui n'est égal ni à ω, ni à ω2.
Propriétés

Les propriétés énoncées pour les produits cartésiens binaires se généralisent immédiatement par récurrence : l'ordre lexicographique défini sur un produit cartésien fini d'ensembles totalement ordonnés est un ordre total, l'ordre lexicographique défini sur un produit cartésien fini d'ensembles bien ordonnés est un bon ordre.
Ordre lexicographique sur des suites finies

C'est celui qui a pour cas particulier l'ordre employé pour les dictionnaires. Contrairement aux cas précédents on veut pouvoir comparer des suites finies de longueurs arbitraire. Par exemple, dans le cas du dictionnaire « maison » est avant « maman » car "ma" = "ma" et "i" < "m". Cependant « maison » a 6 lettres et « maman » 5. Ces mots ne peuvent être considérés comme éléments d'un même produit cartésien fini, à moins d'ajouter une lettre à l'alphabet, par laquelle on complète arbitrairement le mot le plus court. Ce n'est pas complètement inenvisageable pour le dictionnaire, puisque les mots d'une langue ont, en pratique, une longueur maximale (tout du moins ceux qui apparaissent dans le dictionnaire …), mais serait très artificiel. Il est donc naturel de définir l'ordre lexicographique sur des suites finies de longueur arbitraire.

Soit donc (E, ≤) un ensemble ordonné. On pose E*= ⋃ k = 0 ∞ E k {\displaystyle \bigcup _{k=0}^{\infty }E^{k}} \bigcup _{{k=0}}^{\infty }E^{k}, la réunion de tous les produits cartésiens finis construit sur E (E0 contient uniquement la suite vide). On définit l'ordre lexicographique sur E* de la façon suivante. Soient a=(a1, … , ap) et b=(b1, … , bq) deux éléments quelconques de E*,et soit m le plus petit des deux entiers p et q. Alors a < b si et seulement si :

(a1, … , am) < (b1, … , bm) (pour l'ordre lexicographique sur Em)
ou (a1, … , am) = (b1, … , bm) et m < q (c’est-à-dire p < q).

Propriétés

On montre facilement que, si l'ordre initial sur E est total, l'ordre lexicographique sur E*, l'ensemble des suites finies d'éléments de E, est également total.

Par contre la propriété de bon ordre n'est pas conservée (sauf bien sûr si E est un singleton). Par exemple {0, 1} est bien ordonné, mais {0, 1}* ne l'est pas, comme le montre la suite infinie décroissante :

(1) > (0, 1) > (0, 0, 1) > (0, 0, 0, 1) > …

Il faut donc envisager d'autres méthodes pour bien ordonner les suites finies d'un ensemble bien ordonné, par exemple comparer d'abord les longueurs des suites.
Voir aussi

Définition plus générale de l'ordre lexicographique, sur le produit d'une famille d'ensembles ordonnés indexée par un ensemble bien ordonné
Ordre alphabétique
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 10:05

Processus de Paix des secouristes de la république de l'Olivier.

Je crois qu'à l'avenir, plus personne ne pourra recréer des bulles d'exclusions...
Pour cela, je ne peux me permettre de mettre à l'écart tout individu(e) et "État".

Je ne suis qu'une femme ou un homme humble qui en vous adressant ces ces vers,
espère qu'il puisse vous conduire vers l'expérience, le travail et la communauté...
La solitude augmente ou diminue le nervosité... Cela s'appelle le malheur...

Alors par décision, on recherche à se tranquilliser et remettre la balance sur le zéro;
alors par construction, on décèle la notion d'une fragile tolérance:
Celle d'insulter !

Par Yahvé, cela est une horreur et une erreur...

La République de l'Olivier dit :
"Oui à la gréve, Non à l'Esclavage..."
la constitution rajoute :
"Oui à la Bibliothèque et Non à la Faim."
et le peuple doit rajouter :
"Oui à l'écoute et Non aux viols physiques et moraux."

Alors le Novice du Secourisme prends en charge sa nouvelle fonction autre qu'un service
militaire mais basé aussi sur la protection du Bien et du Corps.

"Je suis Y'becca"

Ecrit de
TAY
La chouette effraie.
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Sam 12 Nov à 10:40

Un acte de croire est de se replier sur soi afin de retrouver son aspect... Un besoin naturel de témoignage sur son propre soi car la lueur est d'entendre sa propre voix afin de mieux s'exprimer dans ses discours et prières. Cela n'est pas une prêche, une morale ou un témoignage. C'est lien qui nous lie au surnaturel de Dieu.

Il y a différentes visions du silence. Il est un regard et il est le véritable signale sur l'aspect d'une personne. On peut se cacher derrière un miroir mais le silence n'échappe pas au regard tout comme le regard n'échappe pas au silence. Le silence est une société qui se passe dans la rue. Le silence est une loi aussi puissante que l'état où la pensée se fait individuellement dans la vie et sa justice: L'orphelin, l'ormetta et les visions.

Non aux Tortures, Esclavages et Viols qu'elles ou ils soient Morales et Physiques.

Ecrit de
TAY
La chouette effraie
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Ven 18 Nov à 3:23

Apolline De Malherbe ‏@apollineWakeUp 13 hil y a 13 heures
Juppé propose "un grand congrès des consciences européennes pour définir la civilisation européenne"... Bon. On est sauvés!

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Primaires de Droite: Réussite de l'envoi de Soyouz a été terrifiante. Annonce d'un succès international. Non, Européen ou Franco-allemand

On vous parle de l'Europe. Oui, elle est un acteur mondiale mais pas trop quand même. Il y a différentes versions du programme nucléaire.

Il y a eu de la prudence mais les candidats de la primaires de Droite ont eu leurs coups de gueules. Ce qui est terrifiant, tous députés.

Terrifiant est un terme. La station internationale est commune aux pays même si la chine refuse de m'intégrer. Elle est internationale.

Collège unique. Collège commun... Mais les classes surchargés et les diminutions de classes... Pas assez de temps. Les régions et l'état.

N.K.M, expressive et moins hautaine que l'on prétend. Je l'ai trouvé humaine tel ces policiers pris de haut par la hiérarchie des grades.

Triste manière. Vous les Journaliste... Certes bien élevés mais ces grimaces, oui, ces grimaces... Tous élégant ces candidats. Clin d'œil.

Je partage certaines de ces idées et j'ai ressenti plus de jeunesse en N.K.M que dans Lemaire: Fière d'être une femme de l'armée. Mon choix

Alors, certains diront que N.K.M rejette une part de la société et du vote mais Mademoiselle Marine Le Pen ne se cache pas, elle non plus.

Les Femmes désignent leurs ennemies du doigt. En politique, la sincérité est un tranchant pour les femmes. En cela, je les respecte, Peuple.

Les femmes désignent leurs ennemis du doigt. En politique, la sincérité est un tranchant pour les femmes. En cela, je les respecte, Peuple.

Clarté de la Laïcité, j'ai entendu cette jeune femme dire à l'Éternel et au Peuple, sa force et sa joie d'être là. Respect et clin d’œil.

Je ne regarde pas les analyses et je me laisse envahir de l'émotion et du sommeil. À travers la vitre, je vois la nuit qui pointe l'horizon

À travers les songes, je vais voyager et je sais que la fronde gronde dans la rue. Je suis inquiet pour mes animaux. La justice doit punir.

Punir, oui. Certains me reprocheront mon silence sur la peine de mort en Israël. Je respecte La France et sa vision européenne. Non au Viol.

Primaires de droite: L'État d'urgence, on m'a dit que les femmes ont des réflexions sur la vie plus développé que les hommes sur la vie.

Primaires de Droite... Même Taubira et le mariage homosexuel ne fut abordé. On a senti un consensus de la part des candidats sur ce fait.

Ecrit de
TAY
La chouette effraie
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Minouska.KounakDenat ‏@minouska_kounak 9 hil y a 9 heures
Si Allah est le miséricordieux alors il doit punir ceux qui crachent sur une femme parce sue elle rit ou qu'elle sourit de son propre gré.
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Sam 19 Nov à 3:43

Quelle est la mission de l'état, de l'individu et de l'utopie ,

Elles et Ils sont les institutions du secourisme et doivent répondre aux demandes de la Citoyenneté. Ce qui peut sembler navrant; c'est la parution de l'affrontement... C'est l'effort des sens face aux déterminismes des courants entourant, intérieur et extérieur... La Femme et l'Homme se plongent dans le tourbillon sans réaliser qu'il peut ou pourrai le contourner... Il peut ainsi réparer plus vite et plus rapidement tout en respectant le savoir faire et la main d’œuvre issu de l'apprentissage et l’autodidacte. Telle, avec ou sans raison, cette femme ou cet Homme pourraient devenir très intéressant: C'est à l'état de dire ces choses là mais l'état est une forme utopie. Même une machine peut dire qu'elle issue d'inventeur plutôt que d'être la propriété d'un brevet. Ce mécanisme s'appliquent aussi aux robots. Car oui, Le caractère humain, l'animal, la machine et le robot ont plus de valeur qu'une valeur d'état établi par un comité restreint. L'aspect de défense commune est un aspect universelle car il implique l'aspect militaire tout comme l'aspect civil. En effet le donjon demeure dans le château fort: L'aspect humaniste doit être conserver dans la République car celle ci sépare et répare les cris et les gifles, Tout age et toutes volontés accentue son message de fraternité, d’égalité et de liberté.

La République s'est une bibliothèque où l'amour figure comme l'autocritique et l'évolution. Chacun ne peut tout accumuler par principe de transition car ce fut le souhait du peuple antique et du mariage. Par ainsi, la portée est de transmettre réellement les travaux pour permettre un réel constat de l'aménagement secouristes, médicales, militaires, d'habitations, d'emploi public en incluant l'aspect du secteur privé dans la légalité des droits de la Femme et de l'Homme, de protection juridique dans les divorces, accidents du travail, de contrainte morale, d'abus physiques, sur les moyens de transports permettant à tous le moyens de se déplacer dans un aspect physique en respectant le prix de vie, que la haute technologie sois abordable envers tous et chacun à un prix modéré pour ainsi permettre une meilleur surveillance sur l'égalité des chances pour l'aspect physiques et morales des individus, associations, organismes, entreprises et structure étatiques. Ces mesures montreront de l'élasticité d'aujourd'hui démontre que la plénitude ne fus pas "ou jamais atteint" d'une manière déterminée ni même indéterminée. Le Luxe fut utilisé comme une arme et fausse sur la modernité
de l’intérêt au détriment sur le concept de caractère propre du projet défini par un architecte, un penseur et d'un ouvrier; Le luxe favorise l'architecte sur l'ouvrier par le concept d'une vision chimérique établi par le concept du droit féodal. Il suffit...

La République et ses Organismes Public tout comme Privé ont des rôles de rigueur, d'alternance et de travail sur le bien commun. Car, La République s'est une bibliothèque où l'amour figure comme l'autocritique et l'évolution. Chacun ne peut tout accumuler par principe de transition car ce fut le souhait du peuple antique et du mariage. Par ainsi, la portée est de transmettre réellement les travaux pour permettre un réel constat de l'aménagement secouristes, médicales, militaires, d'habitations, d'emploi public en incluant l'aspect du secteur privé dans la légalité des droits de la Femme et de l'Homme, de protection juridique dans les divorces, accidents du travail, de contrainte morale, d'abus physiques, sur les moyens de transports permettant à tous le moyens de se déplacer dans un aspect physique en respectant le prix de vie, que la haute technologie sois abordable envers tous et chacun à un prix modéré pour ainsi permettre une meilleur surveillance sur l'égalité des chances pour l'aspect physiques et morales des individus, associations, organismes, entreprises et structure étatiques.

Ainsi, L'individu figurera à sa place au Panthéon à coté d'un vrai principe de la République:
La Paix et les Peuples tout en conservant son propre individu.

Ecrit de
TAY
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MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 12 Jan à 9:04

Le référendum est une institution et en cela, il n'est jamais dit que le principe du Referendum est une forme d'émancipation envers les autorités publiques... Le Referendum est la manière la plus noble auquel une loi peut être établi: Pourtant, un jour, Louis Napoléon utilisa cette manière du suffrage universel direct qui marqua les esprits... Le Peuple ne peut pourtant nier le rôle évident que représente le referendum dans le principe civique et morale de "l'individue et de l'individu" dans le terme de Démocratie... Ce principe pourtant, peut être juste consultatif mais il permet ainsi à l'individu de se mettre en situation auquel se retrouve exposer les élu"e"s... Certains voient dans le referendum une forme de combat de coq ou de boxe, en tout cas, à l'image d'un vote électif, il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie doit faire face: Il surpasse l'aspect de l'état et sans le remettre en cause, il est capable de pointer certaines choses de la vie quotidienne. Dans certains pays, il y a l'aspect de pétition qui peuvent être soumise au suffrage universel indirect... Le suffrage universel direct auquel appartient le Référendum est un aspect essentiel du caractère humain auquel un peuple veut s'adresse envers ses nouvelles générations... Le fait de débattre est un outil essentiel en terme de communication et pourtant dans certains cas, la question du Référendum relève de l'intérêt de l'état régalien, c'est en cela que certains hésitent sur son aspect même mais il montre l'aspect même de l'interlocuteur qui propose le sujet de la question. Le référendum est une loi d'utopie qui pourtant montre l'aspect réel de l'individu dans la société: En cela, j'accorde une importance réelle dans la constitution de Y'becca et des Républiques d'Israël et de la Palestine ainsi que dans toutes les Nations Morales et Physiques pour une reconnaissance morale et intellectuel dans le référendum: Son vote est lié malheureusement à des disputes entre des élu"e"s du Suffrage universel indirect... Toutefois, tout comme le vote direct du parlement et tout vote indirect du parlement, le référendum ne peut être organiser pour un Conflits d’intérêts et en cela, c'est au pouvoir judiciaire et à ses membres qu'il soit public et privé tout en maintenant et mettant l'aspect du service public militaire et civil dans la lutte contre les Conflits d’intérêts qui pourrait s'ingérer dans la teneur du débat et du vote: L'aspect du Général, de la société et l'individu doit être soulever en soulevant toutes les égalités et inégalités que peuvent engendrer le référendum... Certains peuvent s'amuser à créer de lois et des référendum pour des Conflits d’intérêts, pour créer des désordres et par gloire personnel... Cela n'est pas dans l'intérêt de l'harmonie sereine auquel nous devons être en ces situations profondes de changement de climat: "De jour en jour; le petit Nuage de Magellan et La Galaxie d'Andromède évolue depuis µ Êta Careme" s'écrie Nagaliew la mouette aux yeux verts..."
L'aspect du référendum est un droit de cité et de navire dans les prochains siècles à venir; et le juge suprême de la république de l'olivier s'y engage et dans des situations d'urgence, notre professionnalisme institué par la philosophie et la prudence du référendum nous permettra d'avoir l'anticipation sur le danger qu'il soit matérielle, morale et naturelle, ils peuvent être distinct ou englobé, Le référendum et ses principes il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie, une armée ou un navire doit faire face... Le Laïc et l'Eternel devant la démocratie et la Nature. Conflits d’intérêts... Le clans des mouettes et la cinquième république devant l'adversité des peurs et des intérêts... Nous sommes prêt à faire face à l'avenir... La République de l'Olivier...

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TAY
La chouette effraie
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Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca
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