Le clans des mouettes

ainsi est la force.
 
AccueilAccueil  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  MembresMembres  GroupesGroupes  Connexion  

Partagez | 
 

 Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
Aller à la page : Précédent  1, 2, 3, 4  Suivant
AuteurMessage
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:44

Titan est le plus grand satellite de la planète Saturne. Avec un diamètre 6 % plus grand que celui de Mercure, Titan est par la taille le deuxième satellite du système solaire, après Ganymède. Il s’agit du seul satellite connu à posséder une atmosphère dense. Découvert par l’astronome hollandais Christian Huygens en 1655, Titan est la première lune observée autour de Saturne7.

Titan est principalement composé de roche et d’eau gelée. Son épaisse atmosphère a longtemps empêché l’observation de sa surface jusqu’à l’arrivée de la mission Cassini-Huygens en 2004. Cette dernière a permis la découverte de lacs d’hydrocarbures liquides dans les régions polaires du satellite. Du point de vue géologique, la surface de Titan est jeune ; quelques montagnes ainsi que des cryovolcans éventuels y sont répertoriés, mais cette surface demeure relativement plate et lisse avec peu de cratères d’impact observés.

L’atmosphère de Titan est composée à 98,4 % de diazote et comporte 1,6 % de nuages de méthane et d’éthane. Le climat — qui comprend des vents et de la pluie de méthane — crée sur la surface des caractéristiques similaires à celles rencontrées sur Terre, telles des dunes et des côtes, et, comme sur la Terre, présente des saisons. Avec ses liquides (à la fois à la surface et sous la surface) et son épaisse atmosphère de diazote, Titan est perçu comme un analogue de la Terre primitive, mais à une température beaucoup plus basse. Le satellite est cité comme un possible hébergeur de vie extraterrestre microbienne ou, au moins, comme un environnement prébiotique riche en chimie organique complexe. Certains chercheurs suggèrent qu’un possible océan souterrain pourrait servir d’environnement favorable à la vie8,9.

et

Europe, officiellement Jupiter II Europe (en abrégé J II Europe, internationalement J II Europa) est un satellite naturel de Jupiter, le sixième par la distance et le deuxième parmi les satellites galiléens.

Avec un diamètre de 3 121 kilomètres, Europe est le quatrième plus gros satellite de Jupiter et le sixième du système solaire. Sa surface est composée de glace et se trouve être la plus lisse de tout le système solaire. Bien que sa température soit au maximum de -150 °C, on suppose qu'en dessous se trouve un océan liquide d'environ 90 kilomètres de profondeur. De plus, des geysers d'eau ont été détectés à sa surface. Ces éléments laissent à penser qu'Europe pourrait être habitable par certains organismes, bien que cette hypothèse ne soit pas encore vérifiée. À ce sujet, la NASA projette de lancer vers 2020-2030 une sonde spatiale dans le système de Jupiter, afin d'étudier en détail Europe, le projet ayant pour nom de code Europa Clipper1.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:44

ivre III des Éléments d'Euclide

Le livre III des Éléments d'Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d'un point par rapport à un cercle).

Il comporte :

11 définitions
37 propositions

Les définitions

Dans le préambule du livre III, on définit :

La tangente à un cercle. Une droite est tangente à un cercle si elle le touche sans le couper.
Les cercles tangents. Deux cercles sont tangents s'ils se touchent sans se couper.
Le segment de cercle. Il s'agit du domaine limité par une droite sécante à un cercle et ce cercle.
Le secteur de cercle. Il s'agit du domaine limité par deux rayons et la portion de circonférence qu'ils définissent.

Les propositions

Ces propositions traitent des points suivants :

Constructions diverses. La prop.1 décrit comment construire le centre d'un cercle. Diverses propriétés relatives au centre sont également énoncées dans les prop.5 à 9. Par exemple, si dans un cercle, l'on prend un point quelconque, et si plus de deux droites menées de ce point à la circonférence sont égales entre elles, le point qu'on aura pris sera le centre du cercle. La prop.30 décrit comment trouver le milieu d'un arc de cercle.
Propriété des cordes. Diverses propriétés sont énoncées, par exemple, une droite coupant une corde est perpendiculaire à celle-ci si et seulement si elle la coupe en deux segments de même longueur (prop.3). Les cordes de même longueur sont également éloignées du centre et réciproquement, la corde la plus grande étant le diamètre, et la longueur diminuant au fur et à mesure qu'on s'éloigne du centre (prop.14 et 15).
Position relative de deux cercles. Un cercle ne coupe pas un autre cercle en plus de deux points (prop.10). Deux cercles étant tangents, leurs centres sont alignés avec le point de tangence (prop.11 et 12). Un cercle tangent à un autre cercle n'a qu'un point commun avec lui (prop.13).
Propriété des tangentes au cercle. Il s'agit d'une droite perpendiculaire au diamètre passant par une extrémité de ce dernier (prop.16, 18, 19). Dans cette proposition, Euclide conçoit l'angle entre la tangente et le cercle comme un angle curviligne, plus petit que n'importe quel angle rectiligne. La prop.17 permet de construire la tangente à un cercle passant par un point donné.
Angles au centre et angles inscrits. La prop.20 prouve que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit correspondant. La prop.21, généralisée dans les prop.26 à 29, prouve que des angles inscrits interceptant le même arc sont égaux et réciproquement. La prop.22 prouve que les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont égaux à deux droits.
Propriété des segments de cercle. Les prop.23 à 25 traitent des segments de cercle. Par exemple, un segment étant donné, la prop.25 décrit le cercle dont il est le segment. Les prop.33 et 34 donnent des constructions relatives aux segments de cercle.
Triangle rectangle inscrit dans un cercle. La prop.31 prouve qu'un triangle ayant un côté égal au diamètre est rectangle.
Puissance d'un point par rapport à un cercle. Elle est introduite par les prop.35 à 37, la prop.35 étant énoncée comme suit : si, dans un cercle, deux droites se coupent mutuellement, le rectangle compris sous les segments de l'une est égal au rectangle compris sous les segments de l'autre.

Bibliographie

Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]
Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris 1819, nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard 1993.
Les élémens de géométrie d'Euclide , traduits littéralement et suivis d'un Traité du cercle, du cylindre, du cône et de la sphère, de la mesure des surfaces et des solides, avec des notes, par F. Peyrard, F. Louis (Paris), 1804, 107-177 p. (lire en ligne), planches des figures 2 et 3 (gallica BNF), voir aussi cette version numérisée (remacle.org).
Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide traduction de Denis Henrion, 1632, lire en ligne (gallica BNF).


Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:45

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, etc.)1.

Sommaire

1 Utilisations
2 Définitions
3 Équations
3.1 Équations cartésiennes et paramétriques
3.2 Points d'intersection avec une droite
4 Le cercle vu comme section
5 Propriétés géométriques
5.1 Mesures
5.2 Corde et flèche d'un arc
5.3 Tangente
5.4 Médiatrice
5.5 Cercle et triangle rectangle
5.6 Angle inscrit, angle au centre
5.7 Puissance d'un point par rapport à un cercle
5.8 Rapport des cercles inscrits
6 Note et référence
7 Voir aussi

Utilisations

Le cercle est un objet mathématique abstrait, qui peut servir à modéliser de nombreux phénomènes. Un certain nombre d'objets manufacturés ont une section circulaire : cylindres (rouleaux, roues, silos), sphères (ballon, balles, billes), cônes (rouleaux, entonnoirs). Les propriétés du cercles permettent donc de déduire des propriétés des objets, comme par exemple leur volume qui permet de déduire la masse de l'objet (connaissant sa masse volumique) ou sa contenance. Les objets de section circulaire sont intéressants pour principalement plusieurs raisons :

ces objets roulent, ce qui permet d'avoir des mouvement et déplacements nécessitant peu d'efforts (roues, roulements mécaniques) ;
par définition, tous les points sont à égale distance du centre ; cela signifie qu'il faut le même temps et la même énergie pour atteindre chaque point à partir du centre, ce qui a donné la notion d'hémicycle (amphithéâtre) dans lequel le son a le même volume pour tous ceux assis sur le même banc ;
cela a également de l'importance en terme d'organisation du territoire et de logistique ; en effet, si le déplacement se fait de la même manière dans toutes les directions (terrain idéalement plat et horizontal, sans obstacle, ou bien vol d'oiseau sans vent), alors un cercle représente l'ensemble des points que l'on peut atteindre pour une durée de trajet donnée ou ne consommation d'énergie donnée à partir du centre, c'est la notion de rayon d'action, et l'intérêt du problème du cercle minimum ;
lorsque l'on souffle du verre, le verre s'éloigne du point de soufflage avec une vitesse isotrope, ce qui donne à l'objet une forme naturellement arrondie ;
le cercle est la courbe plane qui, pour une longueur donnée (périmètre), a l'aire la plus grande ; ainsi, si l'on construit un silo ou une bouteille cylindrique, on a la contenance la plus importante pour une quantité de matériau donné (pour faire la paroi), si l'on construit une palissade circulaire, on pourra loger plus de personnes pour une quantité de bois ou de pierre donnée ; dans le même ordre d'idées, la défense en cercle est une stratégie militaire permettant de défendre une population ou un stock avec le minimum de moyens, face à une attaque venant de toutes parts, tactique dite justement de l'encerclement ;
cette forme ne présente pas d'aspérité, donc pas de concentration de contrainte ; un objet ayant cette forme a une meilleure résistance mécanique ;
cette forme ne présente pas de partie plane, ainsi, un projectile a peu de chance de la frapper « de face », il lui transmet moins d'énergie et donc risque moins de l'endommager ; si l'objet tombe, il a plus de chance de rebondir sans casser ; un objet arrondi a aussi moins de risque de blesser en cas de choc avec une personne (ballon, arrondi des capots et pare-chocs de voitures modernes) ;
toute droite passant par le centre est un rayon, et donc est perpendiculaire au cercle ; cette propriété est utilisée en optique et a donné les contre-miroirs sphériques, c'est aussi pour cela que les lentilles ont des surfaces sphériques (ont peut facilement prédire le trajet lumineux aux dioptres) ;
un objet de section circulaire et à paroi mince peut se fabriquer par enroulement de fil (ressort hélicoïdal, bobine) ou par roulage d'une tôle (virole, tube) ; un objet de section circulaire creux ou massif peut aussi s'obtenir facilement par tournage (poterie, tournage mécanique) ;
si l'on met un objet dans un récipient circulaire, on impose sa position mais on n'impose pas son orientation ; si l'orientation n'a pas d'importance, alors cela permet de gagner du temps puisque l'on n'a pas à tourner l'objet avant de le mettre en position ; c'est le principe du centrage (long ou court) pour la mise en position (MiP).

Certains objets répondent à plusieurs de ces éléments. Par exemple, le fait qu'un canon soit cylindrique :

permet une fabrication facile, en particulier l'alésage ;
donne une résistance mécanique (résistance à la pression de l'explosion) ;
facilite l'introduction de la munition (on n'a pas besoin de la tourner autour de son axe pour l'introduire) ;
en pratiquant une hélice dans le canon, on peut imprimer un mouvement de rotation lors du tir qui stabilise la trajectoire.

Si un objet a une surface courbe, elle peut être localement approchée par un cercle. Ainsi, si l'on connaît les propriétés du cercle, on connaît les propriétés locales de l'objet. C'est ce qui a donné les notions de cercle osculateur, de rayon de courbure et d'harmonique sphérique.

Si l'on dispose des objets ou des personnes en cercle, on sait que l'on peut les atteindre avec le même effort depuis le centre, mais aussi que l'on peut les voir de la même manière, ce qui peut faciliter la surveillance. On peut aussi les désigner en faisant appel à un seul paramètre, la direction ; c'est par exemple l'intérêt des cadrans à aiguille. Cela donne aussi les notions de coordonnées cylindriques et sphériques.

Enfin, de par sa définition, le cercle euclidien est très simple à tracer : il suffit d'avoir un objet dont les deux extrémités ont une distance constante, comme par exemple une corde tendue ou une branche (même tordue), ou de manière plus courante un compas. Il est donc simple de tracer un cercle « parfait », ce qui en fait un outil d'étude privilégié pour la géométrie.

Pour des problèmes et des formes plus complexes, on peut faire appel à la notion d'ellipse.

Le cercle peut servir à représenter de manière symbolique des objets « plus ou moins ronds » :

des astres (planètes, lunes, étoiles) et leurs orbites (qui sont en fait elliptiques) ;
l’ovale d'un visage (la tête à Toto, les smileys) ;
un orifice.

Du point de vue purement symbolique, il représente :

une certaine forme de perfection, de par sa symétrie et son absence d'aspérité, car, selon Ronsard, « rien n'est excellent au monde s'il n'est rond »2 ; depuis l'Antiquité grecque, la sphéricité est associée à la perfection, et par conséquent à la divinité3 ; pour Kepler, le cercle représente la sainte Trinité, « Le Père au centre, le Fils à la superficie, le Saint Esprit dans l'égalité de la relation du centre au pourtour. Et bien que le centre, la surface et l'intervalle soient manifestement trois, pourtant ils ne font qu'un, au point qu'on ne peut même pas concevoir qu'il en manque un sans que le tout soit détruit3,4 » ;
un mouvement continu et infini, la notion de cycle ; il est une des représentations du recommencement (ouroboros), de la continuité, de l'éternité et du temps cyclique (voir la roue du temps du Tantra de kalachakra), avec la variante de la spirale ;
une égalité entre les personnes, comme pour la Table ronde du roi Arthur.

Définitions
Divers objets géométriques liés au cercle.

Pendant longtemps, le langage courant employait le mot « cercle » autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appelée disque.

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre définit le nombre pi.

D'autres termes méritent d’être définis :

Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle ;
Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points ;
Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points du cercle ;
Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle ;
Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2 r {\displaystyle 2r} 2r ;
Un disque est une région du plan limitée par un cercle ;
Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons ;
Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle ;
La circonférence est le périmètre du cercle et est égale à 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 2\pi r.

Équations
Équations cartésiennes et paramétriques
Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre C ( a , b ) {\displaystyle C(a,b)} C(a,b) et de rayon r {\displaystyle r} r est :

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :
x 2 + y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.} x^2 + y^2 = 1.

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y {\displaystyle y} y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :

y = b ± r 2 − ( x − a ) 2 {\displaystyle y=b\pm {\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}\,} y=b\pm {\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}\,.

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre θ {\displaystyle \theta \,} \theta \, qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ces points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :

x = a + r cos ⁡ θ ; y = b + r sin ⁡ θ {\displaystyle x=a+r\cos \theta ;\qquad y=b+r\sin \theta } x = a + r \cos\theta ;\qquad y = b + r \sin\theta

soit, pour un cercle centré sur l'origine ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} (0,0) :

x = r cos ⁡ θ ; y = r sin ⁡ θ {\displaystyle x=r\cos \theta ;\qquad y=r\sin \theta \,} x=r\cos \theta ;\qquad y=r\sin \theta \,

et pour le cercle unité :

x = cos ⁡ θ ; y = sin ⁡ θ . {\displaystyle x=\cos \theta ;\qquad y=\sin \theta .} x = \cos\theta ;\qquad y = \sin\theta.

On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre [ A B ] {\displaystyle [AB]} [AB] :

( x − x A ) ( x − x B ) + ( y − y A ) ( y − y B ) = 0 {\displaystyle (x-x_{A})(x-x_{B})+(y-y_{A})(y-y_{B})=0\,} (x-x_{A})(x-x_{B})+(y-y_{A})(y-y_{B})=0\,, soit encore :
x 2 + y 2 − ( x A + x B ) x − ( y A + y B ) y + x A x B + y A y B = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-(x_{A}+x_{B})x-(y_{A}+y_{B})y+x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B}=0.} x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0.

Points d'intersection avec une droite

La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :

x 2 + y 2 = r 2 e t y = y 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\quad {\rm {et}}\quad y=y_{0},} x^2+y^2=r^2\quad{\rm et}\quad y=y_0,

donc de chercher les solutions x de

x 2 = r 2 − y 0 2 . {\displaystyle x^{2}=r^{2}-y_{0}^{2}.} x^2=r^2-y_0^2.

Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :

si | y 0 | > r {\displaystyle |y_{0}|>r} |y_0|>r, l'intersection est vide ;
si | y 0 | = r {\displaystyle |y_{0}|=r} |y_0|=r, la droite est tangente au cercle au point ( 0 , y 0 ) {\displaystyle (0,y_{0})} (0,y_0) ;
si | y 0 | < r {\displaystyle |y_{0}|<r} |y_0|<r, il existe deux points d'intersection : ( + r 2 − y 0 2 , y 0 ) et ( − r 2 − y 0 2 , y 0 ) . {\displaystyle (+{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0}){\text{ et }}(-{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0}).} (+\sqrt{r^2-y_0^2},y_0)\text{ et }(-\sqrt{r^2-y_0^2},y_0).

Le cercle vu comme section
Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e {\displaystyle e} e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.
Propriétés géométriques
Mesures

La longueur d'un arc de rayon r {\displaystyle r} r sous-tendu par un angle au centre α {\displaystyle \alpha } \alpha , exprimé en radians, est égale à α r {\displaystyle \alpha r} \alpha r. Ainsi, pour un angle de 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (un tour complet), la longueur du cercle vaut 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 2\pi r.

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r {\displaystyle r} r vaut π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} \pi r^{2} ; si l'on prend une corde de longueur l {\displaystyle l} l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Corde et flèche d'un arc

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle α {\displaystyle \alpha } \alpha est égale à 2 r sin ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle 2r\sin(\alpha /2)} 2r\sin(\alpha /2).

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par r – f, c/2 et r qui est l'hypoténuse :

c = 2 ( 2 r − f ) f ; r = 4 f 2 + c 2 8 f ; f = r − r 2 − c 2 4 . {\displaystyle c=2{\sqrt {(2r-f)f}};\qquad r={\frac {4f^{2}+c^{2}}{8f}};\qquad f=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {c^{2}}{4}}}}.} c = 2\sqrt{(2r - f)f} ;\qquad r = \frac{4f^2+c^2}{8 f} ;\qquad f = r - \sqrt{r^2 - \tfrac{c^2}4}.

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continument dérivable est indépendante du rayon du cercle.
Tangente
Trouver le point de tangence.
Tangente perpendiculaire au rayon.

La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.

On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.

On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.
Médiatrice
La médiatrice d'une corde passe par le centre.

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle
Triangle rectangle inscrit dans un cercle.

Prenons trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.
Angle inscrit, angle au centre
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.
Article détaillé : Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Prenons deux points distincts A {\displaystyle A} A et B {\displaystyle B} B du cercle. O {\displaystyle O} O est le centre du cercle et C {\displaystyle C} C est un autre point du cercle. Alors, on a
A O B ^ = 2 × A C B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}=2\times {\widehat {ACB}}} \widehat {AOB}=2\times \widehat {ACB}

Pour l'angle au centre A O B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}} \widehat {AOB}, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C {\displaystyle C} C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Article détaillé : Puissance d'un point par rapport à un cercle.
Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Si M {\displaystyle M} M est un point et Γ {\displaystyle \Gamma } \Gamma est un cercle de centre O {\displaystyle O} O et de rayon R {\displaystyle R} R, alors, pour toute droite passant par M {\displaystyle M} M et rencontrant le cercle en A {\displaystyle A} A et B {\displaystyle B} B, on a
M A × M B = | O M 2 − R 2 | {\displaystyle MA\times MB=|OM^{2}-R^{2}|} MA\times MB=|OM^{2}-R^{2}|.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M {\displaystyle M} M par rapport au cercle.

On peut remarquer que

si M {\displaystyle M} M est à l’extérieur du cercle,
M A × M B = O M 2 − R 2 {\displaystyle MA\times MB=OM^{2}-R^{2}} MA\times MB=OM^{2}-R^{2} ;
si M {\displaystyle M} M est à l’intérieur du cercle,
O M 2 − R 2 = − M A × M B {\displaystyle OM^{2}-R^{2}=-MA\times MB} OM^{2}-R^{2}=-MA\times MB ;
ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point M {\displaystyle M} M par rapport au cercle Γ {\displaystyle \Gamma } \Gamma le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours O M 2 − R 2 {\displaystyle OM^{2}-R^{2}} OM^{2}-R^{2}.

Lorsque le point M {\displaystyle M} M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T {\displaystyle T} T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle O M T {\displaystyle OMT} OMT, la puissance de M {\displaystyle M} M est M T 2 {\displaystyle MT^{2}} MT^{2}.

L'égalité :
M A × M B = M T 2 {\displaystyle MA\times MB=MT^{2}} MA\times MB=MT^{2}

est suffisante pour affirmer que la droite ( M T {\displaystyle MT} MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

A {\displaystyle A} A, B {\displaystyle B} B, C {\displaystyle C} C, D {\displaystyle D} D sont quatre points tels que ( A B {\displaystyle AB} AB) et ( C D {\displaystyle CD} CD) se coupent en M {\displaystyle M} M et
MA×MB = MC×MD (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.
Rapport des cercles inscrits
Cette section semble contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (30/08/2015). Vous pouvez aider en ajoutant des références.
Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits, pour N de 2 à 6.

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R {\displaystyle R} R et de surface S {\displaystyle S} S :

R ′ = R 2 ; 2 S ′ = S 2 {\displaystyle R'={\frac {R}{2}}\,;\qquad 2\,S'={\frac {S}{2}}} R'={\frac {R}{2}}\,;\qquad 2\,S'={\frac {S}{2}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 3 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 4 3 ; 3 S ′ = 9 S 7 + 2 3 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {\frac {4}{3}}}}}\,;\qquad 3\,S'={\frac {9\,S}{7+2{\sqrt {3}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {{\frac {4}{3}}}}}}\,;\qquad 3\,S'={\frac {9\,S}{7+2{\sqrt {3}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 4 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 2 = ( 2 − 1 ) R ; 4 S ′ = 4 S 3 + 8 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2}}}}=({\sqrt {2}}-1)\,R\,;\qquad 4\,S'={\frac {4\,S}{3+{\sqrt {8}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2}}}}=({\sqrt {2}}-1)\,R\,;\qquad 4\,S'={\frac {4\,S}{3+{\sqrt {8}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' des 5 plus grands cercles inscrits :

R ′ = R 1 + 2 + 4 5 {\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {4}{5}}}}}}}} R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2+{\sqrt {{\frac {4}{5}}}}}}}}

Rayon R ′ {\displaystyle R'} R' et surface S ′ {\displaystyle S'} S' des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6) :

R ′ = R 3 ; 7 S ′ = 7 S 9 . {\displaystyle R'={\frac {R}{3}}\,;\qquad 7\,S'={\frac {7\,S}{9}}.} R' = \frac{R}{3} \,;\qquad 7\,S' = \frac{7\,S}9.

Inscription de cercles, de même rayon, dans un cercle, un triangle équilatéral, un carré5
Note et référence

↑ Voir la définition de l'adjectif rond [archive] sur le site du CNRTL.
↑ Pierre de Ronsard, Réponse aux injures et calomnies de je ne sais quels prédicants et ministres de Genève, 1563.
↑ a et b « Les avancées grecques : Le cercle et la sphère » [archive], sur Les galeries virtuelles de la Bibliothèque nationale de France.
↑ Johannes Kepler, Le Mystère cosmographique, 1596.
↑ Retrouver ces figures d'inscription de cercles dans la page empilements dans le plan [archive].

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Cercle, sur Wikimedia Commons cercle, sur le Wiktionnaire Cercle, sur Wikisource

Voir la catégorie : Cercle.
Cercle généralisé (en)
Livre III des Éléments d'Euclide
Disque — Sphère — Boule

[masquer]
v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:46

Le mucigel est la substance visqueuse, gélatineuse, enrobant en grande partie les racines d'une plante. Il est principalement constitué de mucilages produits par le rhizoderme et les micro-organismes de la rhizosphère.

Sommaire

1 Formation
2 Fonctions
3 Références
4 Annexes
4.1 Articles connexes
4.2 Bibliographie

Formation

Le mucigel est initialement constitué de mucilage produit par les cellules externes de la coiffe et, en moindre quantité, par les jeunes cellules rhizodermiques n'ayant pas encore de paroi secondaire et les poils absorbants. Il s'agit de polysaccharides acides de nature pectique dont les longues chaines ramifiées et reliées entre elles forment un réseau, ou gel, capable d'emmagasiner une grande quantité d'eau1,2. Le mucilage est libéré par l'appareil de Golgi dans le milieu extérieur grâce au processus d'exocytose. Au fil de la croissance racinaire, des cellules périphériques enrobées de mucilage se détachent de la coiffe et sont laissées en arrière. Elles finissent par former une gaine autour de la racine à mesure que celle-ci s'allonge et que le mucilage gonfle au contact de l'eau du sol.

Ce mucilage est enrichi de nombreux composés produits par les cellules du rhizoderme (sucres, acides organiques, acides aminés, facteurs de croissance, phytohormones, enzymes, composés volatils...) ou provenant de leur destruction (lysats issus des cellules détachées de la coiffe et des poils absorbants, débris cellulaires). Il est rapidement colonisé et métabolisé par les micro-organismes de la rhizosphère qui en retour sécrètent d'autres polysaccharides, souvent plus résistants aux dégradations enzymatiques (exopolysaccharides (en)). Le mucigel stricto sensu est un assemblage de mucilages d'origine mixte, végétale et microbienne2.
Fonctions

Le mucigel remplit plusieurs fonctions3 :

protéger la coiffe et prévenir du dessèchement ;
lubrifier la racine afin de faciliter sa progression dans le sol ;
faciliter le drainage de la solution du sol en maintenant une humidité favorable et en comblant les espaces vides entre les surfaces d'absorption de la racine et le sol4 ;
permettre un contact étroit entre les racines et les particules du sol, augmentant ainsi la disponibilité des ions minéraux fixés par le complexe argilo-humique ;
procurer un environnement propice au développement des micro-organismes de la rhizosphère et à l'établissement d'associations symbiotiques avec des bactéries fixatrices d'azote ou des champignons (mycorhizes).

Références

↑ Raven et al. 2000, p. 591
↑ a et b Gobat, Aragno et Matthey 2010, p. 94
↑ Raven et al. 2000, p. 597
↑ Gobat, Aragno et Matthey 2010, p. 647

Annexes
Articles connexes

Rhizoderme, tissu superficiel des racines.
Solution du sol, eau chargée d'ions circulant dans les espaces libres et les pores du sol.
Rhizosphère, région du sol directement formée et influencée par les racines et les micro-organismes associés.
Biofilm, agrégat de micro-organismes dont les cellules adhèrent entre elles grâce à la sécrétion d'une matrice extra-cellulaire, généralement constituée de polysaccharides.

Bibliographie

Ouvrages utilisés pour la rédaction de l'article :

Peter H. Raven, Ray F. Evert et Susan E. Eichhorn (trad. Jules Bouharmont), Biologie végétale [« Biology of Plants »], Bruxelles, De Boeck Supérieur, 2000, 6e éd., 944 p. (ISBN 9782744501029)
Jean-Michel Gobat, Michel Aragno et Willy Matthey, Le sol vivant : Bases de pédologie - Biologie des sols, PPUR, coll. « Ingénierie de l'environnement », 2010, 3e éd., 817 p. (ISBN 9782880747183)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:46

Solution du sol

En agronomie et en pédologie, la solution du sol est l'eau chargée d'ions qui circule dans les espaces libres ou pores du sol ; c'est le lieu des interactions de la terre et de la vie végétale.
La solution du sol et le complexe argilo-humique

C'est de la solution du sol que la plante tire la plupart des éléments dont elle a besoin, autres que le carbone qu'elle tire de l'air (mais les légumineuses tirent aussi profit de l'azote atmosphérique fixé par des bactéries symbiotiques ou rhizobiums).

Le développement de la plante dans de bonnes conditions suppose une structure adéquate qui s'articule autour du complexe formé par l'argile et l'humus, lequel assure la permanence de la solution et régule les échanges ioniques grâce à sa capacité de rétention en eau et sa capacité d'adsorption des ions - appelée improprement "pouvoir absorbant".

On voit qu'il ne sert à rien de surcharger la terre en éléments fertilisants si le système ne fonctionne pas du fait d'une structure détériorée dans laquelle la solution du sol est peu accessible ou évolue trop rapidement.

Le complexe argilo-humique garde en réserve les ions positifs ainsi que l'ion négatif PO4— — — qui est fixé par un processus spécial ; l'ion NO3— n'étant pas retenu est vite lessivé si les apports excèdent les besoins ; d'où la place de la gestion des nitrates dans la prévention de la pollution du réseau hydrologique.
Bibliographie

L. Lasnier-Lachaise Agronomie nouvelle Flammarion 1973

Portail de l’agriculture et l’agronomie
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:47

En chimie, l’adsorption, à ne pas confondre avec l’absorption, est un phénomène de surface par lequel des atomes ou des molécules de gaz ou de liquides (adsorbats) se fixent sur une surface solide (adsorbant) selon divers processus plus ou moins intenses comme les interactions de Van der Waals ou les interactions dipolaires. Un atome adsorbé est un adatome. Ce phénomène a une très grande importance dans l’évolution de nombreuses réactions chimiques. En mécanique industrielle, il joue un rôle fondamental dans les processus de lubrification et les procédés de brasage.

Le phénomène inverse, par lequel les molécules adsorbées sur une surface s’en détachent, notamment sous l’action de l’élévation de la température, ou de la baisse de pression, se nomme la désorption.

Sommaire

1 Adsorbants
2 Types
3 Problèmes posés par l'adsorption et solutions
4 Applications
4.1 Procédé de séparation
4.2 Autres applications
5 Bibliographie
6 Notes et références
7 Voir aussi
7.1 Articles connexes
7.2 Liens externes

Adsorbants

Les adsorbants sont généralement utilisés sous forme de granulés sphériques ou de tiges. Ils doivent avoir une bonne résistance à l'abrasion et à la température et avoir des pores de faibles diamètres, ce qui résulte en une surface spécifique élevée.

Les adsorbants industriels les plus connus peuvent être classés en trois familles :
Classe Exemples Propriétés
Adsorbants carbonés Charbon actif et graphite Hydrophobes et apolaires
Adsorbants oxygénés Alumine activée, gel de silice et zéolithes Hydrophiles et polaires
Adsorbants polymères Souvent des polymères styréniques réticulés Fonctions polaires et apolaires dans une matrice polymère

Grâce à leur structure cristalline en feuillets, les argiles et les zéolites sont de bons adsorbants naturels. Le charbon actif est un excellent adsorbant : sa capacité d’adsorption des molécules organiques et des gaz est remarquable, d’où son utilisation dans les masques de protection, dans l’antidote universel des Égyptiens ou dans des médicaments contre la dyspepsie.
Types

Selon la nature des interactions qui retiennent l'adsorbat sur la surface de l'adsorbant, l'adsorption peut être classée en deux familles :

l’adsorption physique ou physisorption met en jeu des liaisons faibles, du type forces de van der Waals entre les espèces chimiques adsorbées et l’adsorbant. Ces liaisons sont analogues à celles qui sont impliquées lors d’une liquéfaction. Elle se produit bien avant que le gaz n’atteigne une pression égale à sa pression de vapeur saturante, à des températures assez basses et voisines du point d’ébullition de la phase adsorbée. Elle est en général réversible et on peut la comparer au dépôt de buée sur une paroi froide. L’équilibre est obtenu lorsque les vitesses d’évaporation et de condensation sont égales. L’adsorption physique est donc favorisée par une baisse de la température ;

l'adsorption chimique ou chimisorption met en jeu des énergies de liaison importantes, du type liaisons covalentes, ioniques ou métalliques entre les espèces chimiques adsorbées et l’adsorbant. Elle s’accompagne d’une profonde modification de la répartition des charges électroniques des molécules adsorbées. Elle est souvent irréversible (ou difficilement réversible) et engendre une couche monomoléculaire.

Problèmes posés par l'adsorption et solutions

L’adsorption peut aussi être une propriété indésirable, un composé à faible concentration pouvant être complètement adsorbé sur les parois du récipient, de telle sorte qu’aux hautes dilutions, on ne retrouve plus trace de l’analyte. Ainsi, afin d’obtenir des résultats justes, les analystes utilisent des matériaux aussi inertes que possible, comme le polytétrafluoroéthylène (PTFE) (connu sous divers noms commerciaux comme Teflon®) ou traitent préalablement les récipients, par exemple par silanisation du verre (inactivation de la silice avec du diméthyldichlorosilane).
Applications
Procédé de séparation

La physisorption sur les solides est utilisée pour la séparation et la purification des gaz et pour la séparation des solutés dans des liquides1. Dans le cas des gaz, le procédé de séparation par adsorption est un processus cyclique au cours duquel ont lieu alternativement l’adsorption d’un gaz par un solide ou un liquide à une pression et une température données, puis sa désorption. Selon la méthode de désorption utilisée, le procédé de séparation peut être2 :

adsorption à pression modulée (APM) (pressure swing adsorption, PSA, en anglais) : la désorption a lieu à une pression plus faible ;
adsorption à température modulée (ATM) (temperature swing adsorption, TSA, en anglais) : la désorption a lieu à une température plus élevée.

Autres applications

Parmi les autres applications pratiques faisant appel à l’adsorption, on peut citer :

la catalyse hétérogène : le phénomène d’adsorption constitue la première étape des réactions nécessitant l’emploi d’un catalyseur solide. Ce phénomène peut alors jouer un rôle prédominant dans la cinétique de la réaction chimique ;
la chromatographie ;
la mesure de l'aire des solides poreux et des poudres ;
la stabilisation des colloïdes ;
l’adhésion ;
le stockage de chaleur (via l'adsorption par zéolithes).

Bibliographie
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
Notes et références

↑ Xavier DUVAL, « ADSORPTION », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 février 2016. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/adsorption/ [archive]
↑ Jimmy L. Humphrey, George E. Keller, Procédés de séparation, Techniques, sélection, dimensionnement, Collection: Technique et Ingénierie, Dunod/Industries et Technologies, 2001

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

OU2 : Adsorption, sur Wikiversity

Articles connexes

Sorption
AOX
Coefficient d'adsorption sur le carbone organique

Liens externes

Le charbon actif (activé) et l’adsorption

[masquer]
v · m
Mots-clés relatifs aux sols
Forage · Géotechnique · Mécanique des sols · Mécanique des roches · Pédologie · Profil de sol · Texture du sol · Argile · Illite · Montmorillonite · Sable · Limon · Silt · Adsorption · Couche de Gouy · Couche de Stern · Degré de saturation · Diagramme de Casagrande · Indice des vides · Poids spécifique · Porosité · Perméabilité
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:47

Catégorie:Catalyse
Article principal : Catalyse.
icône décorative Arborescence de la chimie ↑ · ↓
Catégorie mère - Projet - Portail - café
Sous-catégories

Cette catégorie comprend les 3 sous-catégories suivantes.
Outils : Arborescence • Graphique • Décompte • Recherche interne • PetScan • Suggestions • Suivi
C

► Catalyse hétérogène‎ – 11 P
► Catalyse homogène‎ – 8 P
► Catalyseur‎ – 30 P • 2 C

Pages dans la catégorie « Catalyse »

Cette catégorie contient les 43 pages suivantes.
Outils : Arborescence • Graphique • Décompte • Recherche interne • PetScan • Suggestions • Suivi
A

Adsorption
Anticorps catalytique

B

Biocatalyse
Utilisateur:Bombelatole/Brouillon/Catalyse
Briquet Döbereiner
Brusselator

C

Catalase
Catalyse
Catalyse acide ou basique
Catalyse enzymatique
Catalyseur de transfert de phase
Cinétique enzymatique
Coenzyme
Complexe activé
Constante catalytique
Cycle catalytique

D

Dispersion des nanoparticules

E

Élongase
Endoenzyme
Énergie d'activation
Enzyme
Enzyme artificielle
Équation de Michaelis-Menten
Exoenzyme

H

Histoire du procédé Haber-Bosch
Hydrogénation

M

Métathèse (chimie)

N

Couplage de Negishi
Nombre de Damköhler
Nombre de Hatta

P

Photocatalyse
Procédé BMA
Promiscuité enzymatique

Q

Quantité catalytique

R

Réaction autocatalytique
Couplage de Castro-Stephens
Réaction de couplage
Couplage de Sonogashira
Réduction catalytique sélective
Reformage catalytique

S

Site actif
Substrat enzymatique

T

Triade catalytique

Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:48

La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.

Elle est également appelée spirale de Cornu, en référence à Alfred Cornu, le physicien français qui l'a redécouverte. Plus rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux arcs, spirale d'Euler (Leonhard Euler en est le véritable codécouvreur et qui l'a complètement formulée à la suite des travaux de Jacques Bernoulli sur les déformations d'une lamelle élastique), mais encore spirale de Fresnel (qui l'a redécouverte plus tard dans ses travaux sur les franges de diffraction de la lumière au travers d'une fente rectiligne, avant que sa formule soit finalement identifiée comme équivalente à la formule d'Euler), ou encore plus récemment spirale de transition d'un rail de Talbot (à la suite des travaux cherchant à réduire les effets d'une montée brutale de la force centrifuge dans l'amorce d'un virage), une dénomination qui recouvre aussi son utilisation dans la conception des raccordements de virages routiers.

Le nom clothoïde est en fait postérieur de plus d'un siècle à la découverte de Bernoulli et Euler, et selon l'usage normal des attributions scientifiques, cette courbe devrait préférablement être appelée spirale d'Euler, ou spirale eulérienne. Toutefois le néologisme s'est imposé par son unicité et le fait que Bernoulli et Euler ont également étudié d'autres types de spirales (telle que la spirale logarithmique).

Sommaire

1 Étymologies, dénominations et historique de la découverte de la courbe
2 Définition mathématique
3 Géométrie des spires
4 Points asymptotiques de la spirale
5 Propriétés géométriques et interpolations
6 Applications
7 Voir aussi
7.1 Notes et références
7.2 Liens externes
7.3 Articles connexes

Étymologies, dénominations et historique de la découverte de la courbe

Le mot clothoïde vient du grec klothein : filer (la laine), la forme de la courbe rappelant celle du fil qui s'enroule autour du fuseau. La même racine apparaît dans le nom de Clotho, celle des trois Parques qui tient le fil des destinées humaines. Cette étymologie en apparence ancienne, n'a toutefois aucun rapport avec la découverte réelle de la courbe et sa formulation complète, elle n'est utilisée que par analogie. En aucun cas la Grèce ancienne n'avait réussi à formuler cette courbe, et pendant plusieurs millénaires, on l'a confondue à tort avec un segment de parabole ou un arc elliptique.

Dans les faits, la spirale eulérienne a été d'abord décrite en 1694 par Jacques (ou Jacob) Bernoulli (1654–1705)1, comme devant être la courbe permettant de donner la forme d'une lamelle élastique fixée horizontalement sur un mur vertical, et soumise à la contrainte d'un poids exerçant une force verticale à son autre extrémité, étant entendu que la lamelle est supposée ne pas subir d'élongation autre que la déformation élastique de son épaisseur (avec une compression horizontale sur sa face inférieure qui compense la dilatation horizontale subie sur la face supérieure, sans réduction notable de l'épaisseur pour compenser l'incompressibilité partielle de la face inférieure, afin de conserver la quantité de matière de la lamelle). Par la suite, Bernoulli pose une conjecture sur l'équation de cette courbe, sur une base finalement empirique devant répondre à l'expression des contraintes, sans pouvoir la démontrer (et d'ailleurs il commence par se tromper dans sa conjecture initiale, que cette courbe devrait être un arc de parabole, jusqu'à ce qu'il lise les travaux d'Euler à qui il parle du problème).

Plus tard, Leonhard Euler, étudiant les travaux de Bernoulli, parvient à caractériser la courbe en 1744 (la même année que la publication posthume des œuvres complètes de Jacob Bernoulli) pour en donner une équation posée selon la simple théorie des moments, en prenant un biais : celui où la lamelle à son état de repos (posée à plat) a la forme de la spirale de Bernoulli, mais qui fixée au mur avec la contrainte du poids à son extrémité de sorte, la déforme verticalement vers le bas de façon élastique pour la rendre horizontale ; dans ce cas, le moment [de force] le long de la lamelle élastique [rendue droite sous l'action du poids] est alors simplement le produit de la force du poids de contrainte par la distance s entre l'extrémité de la lamelle et le second point de contrainte la fixation au mur vertical). Euler établit alors la « quadrature » de la courbe de Bernoulli (c'est-à-dire son expression sous la forme de coordonnées cartésiennes exprimées selon le paramètre s, et démontre que cette expression est équivalente à la formulation donnée (de façon empirique) de Bernoulli.

Euler parvient même à donner une formulation de l'équation (une intégrale rectiligne selon s pour chaque coordonnée) sous forme d'une série polynomiale, ce qui permet enfin d'en calculer des approximations numériques. Par la suite Euler établit la forme complète de cette courbe, et en 1781, il découvre la valeur des intégrales, déjà reformulée comme la limite d'une série polynomiale, pour la position des deux « centres » de la spirale. Bien que la courbe de Bernoulli et la spirale d'Euler aient été établies dans les deux cas sur l'étude de la déformation de fines lames élastiques inextensibles en longueur, ces deux courbes ne seront finalement considérées comme équivalentes que lorsqu'Euler lui-même établira que les deux problèmes sont liés, en formulant une équation générale de la déformation subie par la lamelle, indépendamment de la forme initiale au repos (sans contrainte) de la lamelle.

Plus tard, vers 1848, Augustin Fresnel, s'efforçant de démontrer expérimentalement la nature ondulatoire de la lumière, étudie la forme que doivent avoir les franges de diffraction d'une source de lumière monochromatique au travers d'une fente rectiligne. En se basant sur les équations de propagation des fronts d'onde formés , il établit les équations cartésiennes de ce front d'onde sous forme de deux intégrales. La solution ainsi obtenue décrit une double spirale antisymétrique, dont il calcule la position des centres. Le nom « spirale de Cornu » vient de ce que c'est Alfred Cornu qui est parvenu à donner la forme complète et dessiner la courbe de Fresnel avec une excellente approximation numérique (dont il estime l'erreur d'approximation). L'équivalence des équations de Fresnel (et de la spirale de Cornu) avec les équations et la spirale d'Euler ne sera relevée que bien plus tard, et Fresnel reconnaîtra la paternité de la découverte d'Euler. Henri Poincaré, au décès de Cornu en 1902, rendra pourtant célèbre l'expression « spirale de Cornu » (en parlant de la forme des franges de diffraction de Fresnel) pour désigner cette courbe.

Et si ces deux noms ne suffisaient pas, il faudra encore l'intervention d'un troisième mathématicien, Ernesto Cesàro, qui suggérera le nom « clothoïde » en référence à la description mythologique de Clotho (Kλωθω´ en grec), la plus jeune des trois Parques dans la mythologie grecque, qui est la fileuse qui tisse le fil infini du temps et de la vie qui, de façon infinie, se déroule de sa source pour venir s'enrouler de l'autre côté autour d'un point final jamais atteint mais sans cesse approché, puisque la courbe spirale se déroule et s'enroule en une quantité infinie de spires autour de deux rouets.

Et si trois noms ne suffisaient pas encore, il faudra à nouveau que la spirale soit caractérisée plus tard par les travaux de l'ingénieur Arthur Talbot qui résoudra mathématiquement en 1890 les équations de contraintes données pour satisfaire la forme que doivent avoir les rails d'une ligne de chemin de fer à l'amorce d'une courbe après une ligne droite, afin de minimiser les coups d'accélération centrifuge ressentis par les passagers, qui mettaient aussi à mal certaines marchandises transportées, mais aussi provoquaient une usure prématurée des roulements et des rails, voire étaient à l'origine de certains déraillements, mais obligeaient aussi à maintenir une vitesse faible du train, à augmenter l'adhérence du système de roulage, et donc augmentait aussi l'énergie consommée et donc le coût, l'efficacité et les performances de ce mode de transport. Talbot faisait donc suite aux recherches d'optimisation de la forme des rails déjà entreprises par l'ingénieur William Gravat, en 1848, ce dernier mentionnant aussi que la forme de cette courbe doit aussi influencer l'inclinaison verticale à donner à l'horizontale entre les deux rails, pour contrer la force centrifuge et maintenir la stabilité du roulement, mais aussi parce que cette inclinaison ne peut pas varier brutalement de l'horizontale parfaite (dans une section de rail rectiligne) à l'inclinaison maximale que doivent avoir les rails lorsqu'ils atteignent le rayon minimal de courbure (qui est aussi le maximum d'accélération supporté par les porteurs de charge, y compris les planchers des voitures et plateaux de transport).

Ainsi Talbot résoudra le problème d'ingénierie pour finalement donner en solution exactement la même courbe que celle établie par Bernoulli/Euler (dans l'étude des déformations de lames élastiques), et par Fresnel/Cornu (dans l'étude des formes des franges d'interférence de la lumière). C'est à lui donc qu'on doit aussi le nom « spirale de Talbot », bien que là encore on oublie la paternité de la découverte et de la spécification complète par Euler.

Curieusement, c'est le troisième nom de « clothoïde » qui est aujourd'hui le plus connu, bien que ce nom oublie complètement la paternité des travaux de Fresnel avec la contribution somme toute plus modeste de Cornu (à qui à doit respectivement les troisième et deuxième noms les plus utilisés pour désigner la courbe), et même avant eux les travaux d'Euler basés sur la formulation partielle de Bernoulli. L'expression « spirale d'Euler » ou « spirale eulérienne » est finalement la moins utilisée alors qu'elle est scientifiquement la plus juste (d'autre part c'est encore Euler qui a énuméré la plupart des propriétés de cette courbe, et l'a inscrite dans une famille plus large qu'il a beaucoup étudiée, celle des « splines » de deuxième ordre (ou d'ordre supérieur) respectant un nombre minimum de degrés de continuité ou de dérivabilité).

La spirale d'Euler, comme on devrait donc l'appeler (au lieu de « clothoïde », qui n'en fait qu'une description somme toute très imagée et pas nécessairement exacte car caractérisant une famille plus large de courbes pouvant avoir cette apparence), est aujourd'hui remarquable car elle apparaît comme solution à nombre de problèmes physiques bien réels (par exemple la forme que doit avoir la surface séparant deux phases de matière fluide, dans un solide cylindrique exerçant des forces d'attractions ou de répulsion avec les molécules de fluides de nature distincte ou dans une phase liquide/gaz distincte). Et Euler fournissait déjà, 3 siècles avant que les problèmes actuels soient posés, non seulement la solution à ces problèmes posés sous forme d'équations différentielles ou d'intégrales, mais aussi démontrait toute une série de théorèmes sur les propriétés de ces courbes, des théorèmes qui permettent aussi des vérifications expérimentales devant démontrer que les problèmes physiques modélisés par les équations différentielles sont correctement caractérisés de façon suffisante pour parvenir à au moins une solution, mais aussi permettre de choisir un infinité de solutions selon d'autres critères.

Aujourd'hui, la spirale d'Euler connaît un regain d'intérêt dans le tracé de splines aussi bien esthétiques à l’œil que devant être simples à réaliser de façon mécanique, stables numériquement dans leurs approximations numériques, et devant respecter aussi toute une série de propriétés très utiles dans le design de telles courbes telle que :

leur extensibilité – une propriété partagée par les courbes de Bézier, bien que ces dernières (de degré quelconque) ne soient pas conservées lors de transformations du système de coordonnées, hors du cas des simples translations, rotations ou homothéties, notamment dans les transformations affines du plan comme les déformations non isométriques et d'autres projections non linéaires comme la perspective) — c'est-à-dire la possibilité d'interpoler de façon exacte un point situé sur la courbe et de l'ajouter à la définition des points de contrôle de la spline, sans en altérer la forme ;
leur localité – une possibilité offerte par les splines d'interpolation d'autres courbes, constituées d'une série d'arcs de courbes co-tangents aux points de contrôle de la spline, qui permet de limiter l'effet des points de contrôle de chaque arc à une région limité de la courbe sans trop la déformer.

Ainsi les arcs de spirale eulérienne (ou arcs de « clothoïdes ») sont maintenant utiles dans la conception esthétique de glyphes dans les polices de caractères et dans la production de glyphes dérivés (par exemple par une graisse différente ou un effet d'italique), car elles permettent aussi de modéliser les contours des glyphes tracés par des têtes de crayons ou pinceaux non strictement circulaires (par exemple pour produire une graisse variable le long du contour, selon sa direction ou son sens de tracé). La modélisation avec de tels arcs permet aussi de réduire considérablement le nombre de points de contrôle nécessaires (par exemple 6 ou 7 points pour un seul spline constitué d'arcs de spirale eulérienne peuvent suffire à modéliser de façon très esthétique le tracé d'une lettre D majuscule dans un style cursif manuscrit, ou bien autant de points pour produire une lettre latine S majuscule ou minuscule, et 5 points seulement pour définir la forme d'une lettre U dans un style sans empattement mais éventuellement italique, là où la modélisation avec des courbes de Bézier quadratiques – ou même cubiques – demande un nombre bien plus élevé de points de contrôle à positionner de façon empirique, sans parvenir à un même degré d'esthétisme ni de continuité et de dérivabilité). De plus la modélisation à l’aide de d'arcs de spirale eulérienne permet aussi de prendre en compte les déformations visuellement esthétiques nécessaires pour garder la lisibilité et le contraste des glyphes lors de changements de taille de corps, par un déplacement léger des points de contrôle devant toutefois continuer à respecter les contraintes de continuité, de dérivabilité (particulièrement aux points d'inflexion des glyphes, là où la courbure est minimale, c'est-à-dire le rayon de courbure très grand par rapport à la taille du glyphe, des points auxquels la vision humaine est extrêmement sensible à une très faible variation de cette courbure).
Définition mathématique

La courbe peut être définie paramétriquement par les équations suivantes :

{ x ( t ) = a ∫ 0 t cos ⁡ u 2 d u y ( t ) = a ∫ 0 t sin ⁡ u 2 d u {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)&=&a\int _{0}^{t}\cos {u^{2}}\,du\\y(t)&=&a\int _{0}^{t}\sin {u^{2}}\,du\end{matrix}}\right.} \left\{{\begin{matrix}x(t)&=&a\int _{0}^{t}\cos {u^{2}}\,du\\y(t)&=&a\int _{0}^{t}\sin {u^{2}}\,du\end{matrix}}\right.

Sans perdre de la généralité de cette définition, on peut aussi supprimer la constante libre a de cette expres​sion(une constante en général conservée dans les expressions de la courbe), en définissant comme clothoïde toute courbe qui suit une telle équation dans un quelconque repère orthonormé du plan, par une transformation isométrique ou une homothétie : le paramètre a correspond uniquement au facteur d'une homothétie, mais les autres transformations isométriques du plan (rotation et translation) se ramènent à un changement d'orientation ou du centre d'un repère orthonormé (mais cette généralisation ne concerne pas toutes les transformations affines du plan, qui influent notablement sur les métriques de la courbe et ne conservent pas nécessairement les angles relatifs, ni les distances relatives, ni non plus les aires relatives soutendues entre les cordes et les arcs, et encore moins les rayons de courbure relatifs, même si elles conservent les tangentes et les points d'inflexion).

On voit que l’intégrale de Fresnel entre en jeu dans son calcul, car ces équations, où les coordonnées ont été séparées, sont équivalentes à une équation unique, formulée cette fois dans le plan complexe :

p ( t ) = a ∫ 0 t e i u 2 d u {\displaystyle p(t)=a\int _{0}^{t}e^{iu^{2}}\,du} p(t)=a\int _{0}^{t}e^{{iu^{2}}}\,du

Toutefois Euler l’a calculée bien avant Fresnel, sans même faire appel à cette propriété. Mais dans les deux cas, le choix du paramètre s n'est pas quelconque, puisque celui-ci mesure une distance effective dans le plan, le long de la courbe, et non un simple paramètre libre destiné à simplifier l'expression paramétrique de celle-ci.

On peut également la définir par une équation intrinsèque (équation de Bernoulli, résolue par Euler avec une intégrale curviligne) :

2 r ⋅ s = a 2 {\displaystyle 2r\cdot s=a^{2}\,} 2r\cdot s=a^{2}\,

où r {\displaystyle r\,} r\, représente le rayon de courbure local et s = a ⋅ t {\displaystyle s=a\cdot t\,} s=a\cdot t\, l’abscisse curviligne. On peut aussi l’écrire préférablement :

2 s = a 2 κ {\displaystyle 2s=a^{2}\kappa \,} 2s=a^{2}\kappa \,

où κ = 1 / r {\displaystyle \kappa =1/r\,} \kappa =1/r\, représente la courbure locale (signée dans le repère de Frenet), avec l'avantage que cette équation évite la singularité du point d'inflexion au centre de symétrie de la spirale (où le rayon de courbure est localement indéfini, tendant simultanément vers plus et moins l'infini, selon le côté d'approche de ce point d'inflexion, tandis que la courbure est nulle sur ce point d'inflexion), la courbure ne tendant vers l'infini qu’à l‘approche des deux points asymptotiques autour desquels s'enroule la spirale.

Euler est également le premier à établir un développement limité des coordonnées paramétriques des points de la courbe (en fonction de l’abscisse curviligne), en posant d'abord b = 2 ⋅ a {\displaystyle b={\sqrt {2}}\cdot a} b={\sqrt {2}}\cdot a afin de simplifier l'expression des développements :

{ x = s 3 1 ⋅ 3 ⋅ b 2 − s 7 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ b 6 + s 11 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ b 10 − s 15 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 15 ⋅ b 14 + . . . = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n ⋅ s 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! ⋅ ( 4 n + 3 ) ⋅ b 4 n + 2 y = s − s 5 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ b 4 + s 9 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ b 8 − s 13 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 13 ⋅ b 12 + . . . = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n ⋅ s 4 n + 1 ( 2 n ) ! ⋅ ( 4 n + 1 ) ⋅ b 4 n {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {s^{3}}{1\cdot 3\cdot b^{2}}}-{\frac {s^{7}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot b^{6}}}+{\frac {s^{11}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 11\cdot b^{10}}}-{\frac {s^{15}}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 6\cdot 7\cdot 15\cdot b^{14}}}+...&=&\sum _{n=0}^{+\infty }&{\frac {(-1)^{n}\cdot s^{4n+3}}{(2n+1)!\cdot (4n+3)\cdot b^{4n+2}}}\\y&=&s-{\frac {s^{5}}{1\cdot 2\cdot 5\cdot b^{4}}}+{\frac {s^{9}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 9\cdot b^{8}}}-{\frac {s^{13}}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 5\cdot 6\cdot 13\cdot b^{12}}}+...&=&\sum _{n=0}^{+\infty }&{\frac {(-1)^{n}\cdot s^{4n+1}}{(2n)!\cdot (4n+1)\cdot b^{4n}}}\end{matrix}}\right.} \left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {s^{3}}{1\cdot 3\cdot b^{2}}}-{\frac {s^{7}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot b^{6}}}+{\frac {s^{{11}}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 11\cdot b^{{10}}}}-{\frac {s^{{15}}}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 6\cdot 7\cdot 15\cdot b^{{14}}}}+...&=&\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}&{\frac {(-1)^{n}\cdot s^{{4n+3}}}{(2n+1)!\cdot (4n+3)\cdot b^{{4n+2}}}}\\y&=&s-{\frac {s^{5}}{1\cdot 2\cdot 5\cdot b^{4}}}+{\frac {s^{9}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 9\cdot b^{8}}}-{\frac {s^{{13}}}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 5\cdot 6\cdot 13\cdot b^{{12}}}}+...&=&\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}&{\frac {(-1)^{n}\cdot s^{{4n+1}}}{(2n)!\cdot (4n+1)\cdot b^{{4n}}}}\end{matrix}}\right.

ce qui permet alors de calculer (avec une convergence assez rapide et une bonne stabilité numérique) les coordonnées des points permettant de tracer la spirale (au moins pour des valeurs pas trop grandes de s). Grâce à cette formulation Euler décrit précisément la forme que doit avoir la courbe complète, là où Bernoulli n'avait qu'une idée assez sommaire de sa forme générale (d'ailleurs l'imprimeur qui a publié les travaux de Bernoulli ne l'avait pas compris non plus puisque dans les représentations graphiques des arcs donnés par les schémas sommaires de construction géométrique, celui-ci a confondu la courbe de Bernoulli avec un arc de cercle, en complète contradiction avec la nécessité que le rayon de courbure soit en progression constante comme le mentionnait pourtant clairement Bernoulli). La forme complète de la courbe, en double spirale antisymétrique (avec une infinité de spires autour de chaque point limite), est établie par Euler.
Géométrie des spires

Si on s'intéresse au comportement de la courbe lorsque l'abscisse curviligne tend vers l'infini, étant donné que la courbure croit linéairement avec cette abscisse, le rayon de courbure décroit en même temps de façon inversement proportionnelle.

Par exemple entre deux points sur la clothoïde séparés par une longueur d'arc Δ s {\displaystyle \Delta s\,} \Delta s\,, la courbure κ {\displaystyle \kappa \,} \kappa \, s'accroît de Δ κ = 2 Δ s / a 2 {\displaystyle \Delta \kappa =2\Delta s/a^{2}\,} \Delta \kappa =2\Delta s/a^{2}\,.

Par conséquent le rayon de courbure passe de r = 1 κ {\displaystyle r={\frac {1}{\kappa }}\,} r={\frac {1}{\kappa }}\, à r ′ = 1 κ + Δ κ = 1 κ + 2 Δ s / a 2 {\displaystyle r^{\prime }={\frac {1}{\kappa +\Delta \kappa }}={\frac {1}{\kappa +2\Delta s/a^{2}}}\,} r^{\prime }={\frac {1}{\kappa +\Delta \kappa }}={\frac {1}{\kappa +2\Delta s/a^{2}}}\,.

La différence de rayon de courbure (mesuré hors du point d'inflexion sur la même branche de la double spirale, par exemple sur la branche du premier cadran, de coordonnées positives) est alors :

Δ r = r ′ − r = 1 κ + 2 Δ s / a 2 − 1 κ = − 2 r 2 Δ s a 2 + 2 r Δ s {\displaystyle \Delta r=r^{\prime }-r={\frac {1}{\kappa +2\Delta s/a^{2}}}-{\frac {1}{\kappa }}=-2r^{2}{\frac {\Delta s}{a^{2}+2r\Delta s}}} \Delta r=r^{\prime }-r={\frac {1}{\kappa +2\Delta s/a^{2}}}-{\frac {1}{\kappa }}=-2r^{2}{\frac {\Delta s}{a^{2}+2r\Delta s}}

Cette différence de rayon de courbure ne fait que décroître à mesure que la longueur d'arc parcourue augmente, tandis que le nombre de spires (c'est-à-dire le nombre de tours complets faits par la direction de la tangente) augmente. Ce rayon de courbure décroissant étant de moins en moins différent, chaque spire se rapproche de plus en plus d'un cercle dont le périmètre 2 π r {\displaystyle 2\pi r\,} 2\pi r\, décroissant s'approche aussi de plus en plus de la longueur de la spire Δ s {\displaystyle \Delta s\,} \Delta s\, elle aussi décroissante. De sorte que la différence de rayon de courbure à chaque spire quasi-circulaire s'approche elle aussi de plus en plus de :

Δ r ≈ − 4 π r 3 a 2 + 4 π r 2 {\displaystyle \Delta r\approx -{\frac {4\pi r^{3}}{a^{2}+4\pi r^{2}}}} \Delta r\approx -{\frac {4\pi r^{3}}{a^{2}+4\pi r^{2}}},

une quantité négative qui ne peut décroître (en valeur absolue) que si le rayon est lui aussi décroissant.

D'autre part, on sait par définition que ce rayon de courbure ne peut pas devenir négatif quand s croit (avec un signe positif), de sorte que le rayon de courbure dans la branche positive de la clothoïde est nécessairement borné par une valeur inférieure. Le rayon de courbure suit donc une courbe asymptotique décroissante vers une valeur minimale non négative. Mais cette analyse géométrique simple ne permet pas de déterminer laquelle, ni donc de savoir si la courbe tend vers un point asymptotique ou vers un cercle de rayon minimal non nul, même si on en déduit que la courbe évoluera sur une longueur infinie, avec un nombre infini de spires, autour d'un point central dont la position n'a pas pu être déterminée précisément par Bernoulli.

Cependant, une simple observation de l'équation intrinsèque de la clothoïde permet de conclure à la convergence de la courbe vers un point unique et non un cercle, puisque le rayon de courbure est par définition inversement proportionnel à l'abscisse curviligne : si cette dernière tend vers l'infini, le rayon de courbure tend nécessairement vers zéro et non une valeur strictement positive.
Points asymptotiques de la spirale

Par la suite, il a fallu pas moins de 35 ans à Euler (lui encore) pour déterminer en 1781 les coordonnées des deux points asymptotiques autour desquels s’enroule la spirale (c'est-à-dire lorsque l'abscisse curviligne s tend vers plus ou moins l'infini), tout d'abord en démontrant que ces points limites existent (sous la forme d'un point unique de chaque côté, et non d'un cercle), puis pour en préciser la position exacte :

x = y = ± a 2 π 2 {\displaystyle x=y=\pm {\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,} x=y=\pm {\frac {a}{2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\,

Euler a pour cela utilisé le changement de variable s 2 2 a 2 = v {\displaystyle {\frac {s^{2}}{2a^{2}}}=v\,} {\frac {s^{2}}{2a^{2}}}=v\, pour réécrire les intégrales donnant les coordonnées des points limites comme :

{ ∫ 0 + ∞ cos ⁡ x 2 2 a 2 d x = a 2 ∫ 0 + ∞ cos ⁡ v v d v ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x 2 2 a 2 d x = a 2 ∫ 0 + ∞ sin ⁡ v v d v {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{+\infty }\cos {\frac {x^{2}}{2a^{2}}}\,dx&=&{\frac {a}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos v}{\sqrt {v}}}\,dv\\\int _{0}^{+\infty }\sin {\frac {x^{2}}{2a^{2}}}\,dx&=&{\frac {a}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin v}{\sqrt {v}}}\,dv\end{matrix}}\right.} \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{{+\infty }}\cos {\frac {x^{2}}{2a^{2}}}\,dx&=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}{\frac {\cos v}{{\sqrt {v}}}}\,dv\\\int _{0}^{{+\infty }}\sin {\frac {x^{2}}{2a^{2}}}\,dx&=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}{\frac {\sin v}{{\sqrt {v}}}}\,dv\end{matrix}}\right.

pour ensuite résoudre ces intégrales à l’aide de la fonction Gamma (et qu'Euler appelle encore fonction Delta) déjà définie par Bernoulli dans un de ses ouvrages (publié de façon posthume en 1729) comme :

Γ ( z ) = ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt} \Gamma (z)=\int _{0}^{{+\infty }}t^{{z-1}}e^{{-t}}\,dt

ainsi quelques autres manipulations de changement de variable sur une famille d’intégrales assez générales, dont les points limites de la spirale d'Euler ne sont que des cas particuliers. Pour cela il pose p = r cos ⁡ α {\displaystyle p=r\cos \alpha \,} p=r\cos \alpha \, et q = r sin ⁡ α {\displaystyle q=r\sin \alpha \,} q=r\sin \alpha \, et dérive les intégrales suivantes :

{ ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − p x ⋅ cos ⁡ q t d t = Γ ( z ) ⋅ cos ⁡ ( z α ) r z ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − p x ⋅ sin ⁡ q t d t = Γ ( z ) ⋅ sin ⁡ ( z α ) r z {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-px}\cdot \cos {qt}\,dt&=&{\frac {\Gamma (z)\cdot \cos(z\alpha )}{r^{z}}}\\\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-px}\cdot \sin {qt}\,dt&=&{\frac {\Gamma (z)\cdot \sin(z\alpha )}{r^{z}}}\end{matrix}}\right.} \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{{+\infty }}t^{{z-1}}e^{{-px}}\cdot \cos {qt}\,dt&=&{\frac {\Gamma (z)\cdot \cos(z\alpha )}{r^{z}}}\\\int _{0}^{{+\infty }}t^{{z-1}}e^{{-px}}\cdot \sin {qt}\,dt&=&{\frac {\Gamma (z)\cdot \sin(z\alpha )}{r^{z}}}\end{matrix}}\right.

pour obtenir la solution exposée plus haut, simplement pour p=0, q=1 et z=1/2, étant donné la valeur bien connue Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}\,} \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}\, déjà donnée par Bernoulli.

On note toutefois que la convergence vers ces points limites est très lente (et même de plus en plus lente, les spires successives ne cessant de se resserrer), car cette convergence n'est pas visuellement évidente du tout lorsqu'on représente la clothoïde sur une longueur d'arc finie (même très élevée, ce qui pose vite des problèmes ardus pour l'évaluation numérique avec des abscisses curvilignes très éloignées de zéro, la stabilité numérique du développement limité ci-dessus n'étant plus établie non plus quand on s'éloigne de façon importante du point d'inflexion au centre de symétrie de la clothoïde).

Toutefois, on peut noter que chacune des spires successives se rapproche de plus en plus fortement de la forme de cercles concentriques, ce qui permet d'évaluer cette limite de façon stable, en choisissant judicieusement les abscisses curvilignes afin de parcourir une demi-spire à chaque itération. La suite des centres de spires estimés par cette méthode converge alors bien plus rapidement, mais ne permet pas de déterminer que ce centre limite sera le point limite de la clothoïde. Euler a donc dû démontrer l'unicité de ce point de convergence pour un bras donné de la spirale, même si une suite convergente n'est plus nécessaire pour formuler sa position exacte à l'aide de la constante pi.
Propriétés géométriques et interpolations

Moyennant seulement un changement de repère orthonormé de même orientation (équivalent à une combinaison linéaire d'une translation, d'une rotation et d'une homothétie de facteur strictement positif), toutes les clothoïdes sont bijectivement équivalentes à la clothoïde « unitaire » donnée par la définition ci-dessus (en fixant la constante a = 1).

Ainsi il est possible de déterminer une suite discrète de clothoïdes passant par deux points quelconques du plan, selon la donnée des seuls angles des tangentes en ces deux points par rapport au segment joignant ces deux points (ce segment constitue la « corde » qui sous-tend l'arc).

Si par ailleurs on fixe la déviation angulaire totale subie par les tangentes directrices le long du parcours de l'arc (par exemple la déviation minimale, les autres clothoïdes possibles ne se différenciant que par un nombre entier de spires parcourues dans un sens ou dans l'autre entre les deux points), on peut rechercher une clothoïde respectant cette contrainte (cette dernière pouvant aussi être ramenée à la clothoïde unitaire par un changement de repère orthonormé). On démontre facilement que cette clothoïde existe toujours (sauf dans le cas où les directions des tangentes sont alignées avec celle de la corde, un cas où l'arc unique se réduit alors à un segment de droite, considéré comme une clothoïde dégénérée mais impossible à identifier à la clothoïde unitaire par un changement de repère orthonormé), et que celle-ci est même unique.

De plus l'arc de cette clothoïde unique entre ces deux points et qui respecte les données angulaires des tangentes en ces points ne contient le point d'inflexion central de la clothoïde que si et seulement si les angles des tangentes par rapport à la corde sont de signes opposés.

Enfin cette clothoïde unique sera entièrement déterminée par la valeur de l'abscisse curviligne s au milieu de l'arc entre les deux points (ce milieu étant celui séparant l'arc en deux sous-arcs de même longueur) ; on démontre facilement encore que cette abscisse curviligne s ne dépend que des seuls angles des deux tangentes sur ces deux points. De façon équivalente, cette abscisse curviligne unique fournit l'angle unique de la tangente passant par le point au milieu de l'arc, par rapport à la direction de la corde. Elle fournit aussi de façon équivalente la valeur unique de la courbure (l'inverse du rayon de courbure) à ce même milieu de l'arc.

Par conséquent, une fonction à double entrée, dont les données sont les deux angles (contraints par l'intervalle de déviation totale), permet de donner la valeur de cette courbure centrale.

Cette fonction est elle-même facilement interpolée par la donnée d'une matrice carrée unique (entièrement prédéfinie) dont les indices seraient des valeurs angulaires pour chacune des deux tangentes aux sommets de l'arc, et dont les éléments sont les valeurs de la courbure centrale, avec un nombre limité de valeurs angulaires possibles pour les tangentes aux deux sommets d'arcs donnés ; pour les autres valeurs angulaires de tangentes, une interpolation bicubique des courbures centrales obtenues dans la matrice fournit la valeur approchée avec une excellente précision :

On obtient une erreur maximale sur la courbure centrale telle que le centre de l'arc de clothoïde unitaire idéal est estimé à une distance ne dépassant pas 10-4, si on utilise une matrice de seulement 32×32 entrées (dans le cas de la détermination de la clothoïde à déviation minimale), c’est-à-dire donnant les valeurs de courbure sont données dans la matrice uniquement pour des angles de tangentes dont les écarts sont de 11,25 degrés.
Cette interpolation par une clothoïde proche de la clothoïde unique « idéale » peut être améliorée de façon très significative en augmentant la taille de la matrice (de plusieurs ordres de grandeurs sur l'erreur, si on ne fait que doubler chaque dimension de la matrice ; par exemple en utilisant une matrice 64×64 au lieu de 32×32, c'est-à-dire donnant la courbure centrale de la clothoïde d'interpolation idéale pour des angles de tangentes tous 5,625 degrés, ce qui donne alors une erreur maximale de courbure telle que le centre de l'arc idéal est estimé à une distance relative ne dépassant pas 6×10-6 fois la taille de la clothoïde unitaire idéale, toujours en utilisant une interpolation bicubique).
Cette matrice prédéfinie possède plusieurs symétries et antisymétries si chaque dimension de la matrice contient un nombre pair d'éléments (on peut échanger les deux angles de tangente, en profitant de l'antisymétrie géométrique de la clothoïde par rapport à son centre, car elle peut être « parcourue » dans le sens inverse, ce qui équivaut aussi à une rotation de 180 degrés), ce qui permet aussi d'en réduire la taille de stockage (si nécessaire pour en augmenter la précision).
La justification du fait qu'une taille faible pour la matrice fixe d'interpolation suffit vient du fait que la courbure au milieu de l'arc de clothoïde passant par deux points donnés avec des angles de tangentes donnés, suit une progression quasi-linéaire selon chaque angle donné, qui permet alors une interpolation bicubique de cette courbure centrale avec un nombre réduit de valeurs angulaires prédéterminées pour ces tangentes.

Cette propriété permet alors une recherche très efficace de la clothoïde unique par des méthodes numériques à convergence rapide et numériquement stables. La même méthode permet aussi de rechercher la position du point d'inflexion de la clothoïde (utile si on cherche à interpoler un arc de clothoïde entre deux points dont les tangentes forment avec la corde des angles de signes opposés), ou des points de coordonnées extrémales (là où les tangentes sont orientées parallèlement ou orthogonalement avec un des vecteurs du repère orthonormé, ou toute autre direction fixe).
Applications
Courbe en "S"

En cinématique, la propriété fondamentale de la clothoïde se traduit par « une trajectoire qui, parcourue à vitesse constante, est telle que sa courbure varie linéairement ». La force centrifuge subie par un observateur circulant à vitesse constante le long de cette courbe varie donc linéairement.

Concrètement, elle représente la trajectoire d'une automobile se déplaçant à vitesse stabilisée et dont on tourne le volant progressivement. C'est donc la trajectoire la plus « confortable », celle que l'on adopte pour le tracé des autoroutes et des voies ferrées. En pratique, on n'utilise cette courbe que pour assurer le raccordement progressif d'un alignement droit et d'un arc de cercle. Pour plus d'information, on se reportera à l'article sur le tracé en plan d'une route.

Pour les mêmes raisons, on utilise la clothoïde aux fins de courbes dans les tracés des chemins de fer parce qu'un véhicule suivant ce tracé à une vitesse constante subit une accélération angulaire continue mais pas constante, ce qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l'inconfort des passagers dans les voitures. On retrouve cette courbe dans les boucles verticales ou loopings des montagnes russes pour le confort des passagers, afin que l'accélération verticale subie soit continue.

Enfin, les sabots montés sur les pylônes de téléphériques, et qui supportent le câble porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire circuler la cabine à sa vitesse maximale sur le pylône, sans incommoder les passagers.

Hors ces aspects cinématiques, la clothoïde intervient en sidérurgie pour aplanir ou cintrer les tôles et barres de grande épaisseur (au-delà de 30 mm). On limite ainsi le risque d'apparition de criques tout en ménageant le matériel. Typiquement, les outils concernés sont la coulée continue et les cintreuses.

D'autre part, une fois la clothoïde tracée, on peut en déduire des valeurs approchées d'expressions intervenant dans le calcul de la vibration résultante lors des phénomènes de diffraction. C'est la raison de l'utilisation de cette courbe par le physicien Alfred Cornu. Néanmoins, les moyens de calcul actuels l'ont fait tomber en désuétude pour cet usage.

Toutefois, pour le tracé de courbes à courbures faibles (c'est-à-dire des rayons de courbure élevés) ou devant exhiber des variations de courbure faibles au regard du rayon de courbure, on peut souvent substituer un arc elliptique à un arc de clothoïde, car la construction géométrique par des moyens purement mécaniques (comme la corde souple) d'un arc elliptique est plus simple si on arrive à positionner ses foyers et mesurer des longueurs importantes (du même ordre de grandeur que les rayons de courbure et la distance entre les foyers) ; la différence de forme et même de courbure entre les deux arcs est dans ce cas négligeable (si la déviation angulaire totale reste très inférieure au quart de tour) mais respecte la condition de continuité et de progression monotone de la courbure, même si cette progression n'est plus strictement linéaire.

De la même façon, il est possible dans les mêmes conditions de substituer des arcs de clothoïde par des arcs de courbes de Bézier, bien que celles-ci ne démontrent pas une simplification significative de leur construction (ni de leur approximation ou interpolation numérique). Des algorithmes efficaces ont ainsi été développés pour calculer des suites optimales d'arcs de Bézier (quadratiques ou cubiques) permettant d'interpoler avec une précision excellente les arcs clothoïdaux (et aussi de faire l'inverse), afin de réduire le nombre d'arcs nécessaires selon des contraintes d'erreurs métriques maximales faciles à respecter : ces algorithmes sont particulièrement efficaces dans le cadre de la conception de courbes à forme fixe tels que les glyphes de polices de caractères (ou dans le cadre de leurs transformations pour produire des glyphes dérivés), où les arcs clothoïdaux fournissent une stabilité numérique permettant de conserver les contraintes de continuité des tangentes et de progression monotone des courbures (ce que ne permettent pas directement les seuls arcs de Bézier, dont les subdivisions ne respectent même pas la conservation de la continuité des tangentes à la suite d'une simple transformation linéaire non isométrique de leurs points de contrôle interpolés).
Voir aussi
Notes et références

↑ Article intitulé en latin Invenire curvam, quae ab appenso pondere flectitur in rectam ; h.e. construere curvam aa = sz, dans les Pensées, notes et remarques, n° CCXVI, de Jacques (ou Jacob) Bernoulli (1654–1705), initialement publié en 1694, puis de façon plus complète sous le titre Varia posthuma, au numéro XX du second volume de ses œuvres complètes Opéra, publiées de façon posthume en 1744.

Liens externes

Description mathématique de la Spirale de Cornu
Sur le site Mathcurve.com
La courbe antisecousse (Pour la Science)

Articles connexes

L’anti-clothoïde, plus couramment appelée développante du cercle, est la courbe que trace la main quand elle déroule une bobine de fil. Elle est utilisée dans la conception de profils d'engrenages.
[masquer]
v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:48

La dispersion de particules est le rapport entre le nombre d'atomes de surface et le nombre total d'atomes. C'est un nombre sans unité, souvent exprimé en %. Lorsque les particules deviennent suffisamment petites (nanoparticules), ce nombre n'est plus négligeable.

Ce concept a une importance considérable en catalyse hétérogène (catalyse par des particules solides), où seule compte la quantité d'atomes de surface disponible pour catalyser la réaction. Comme les catalyseurs sont souvent des matériaux coûteux (métaux précieux par exemple), optimiser la dispersion (via la taille moyenne et la distribution de taille des particules) peut avoir des conséquences importantes sur la viabilité d'un procédé ou d'un catalyseur.

Il est courant de calculer la relation entre dispersion et taille de particule en faisant l'approximation que les particules sont sphériques.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:50

Le mot « infini » (-e, -s ; du latin in-, préfixe négatif, et finitus, « limité ») est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.

La notion d'infini a fortement marqué la pensée occidentale depuis le XVIIe siècle : Alexandre Koyré affirme que « la substitution d'un univers infini et homogène au cosmos fini et hiérarchiquement ordonné de la pensée antique et médiévale implique et nécessite la refonte des principes premiers de la raison philosophique et scientifique »1.

Sommaire

1 L'infini dans les cultures orientales
1.1 Mathématiques indiennes
2 L'infini et les Présocratiques
2.1 Les acceptions générales du concept de l'infini chez les présocratiques
2.1.1 Quelques points d’accords sur l’infini
2.1.2 Cinq raisons qui ont poussé à la croyance de l’infini
2.2 L'infini à travers quelques théories présocratiques
2.2.1 Anaximandre
2.2.2 L'école pythagoricienne
2.2.3 Héraclite
2.2.4 Parménide
2.2.5 Mélissos
2.2.6 Démocrite
3 Les paradoxes de Zénon
3.1 La dichotomie
3.2 Achille et la tortue
4 Avicenne
4.1 Avicenne reprend Aristote
4.2 La distinction entre acte et puissance
4.3 L’infini dans le monde supralunaire
4.4 L’infini dans le monde sublunaire
5 Jean Duns Scot
5.1 Un apport à l'infini mathématique
5.2 De l'infini mathématique à l'infini théologique
5.3 L’infini dans la métaphysique et la théologie scotiennes
6 Galilée
7 Descartes
7.1 L’infini dans la pensée métaphysique de Descartes[40]
7.1.1 Dieu en tant qu’unique infini
7.1.2 L’idée de l’infini dans la pensée de l’homme
7.1.3 La preuve par l’infini de la Méditation III
7.2 Infini et l'indéfini
7.2.1 La distinction entre infini et indéfini
7.2.2 Descartes, héritier d'Aristote ?
7.2.3 Métaphysique et physique
7.3 Rôle de la volonté
7.3.1 Volonté comme marque divine
7.3.2 L'infinitude de la volonté
7.3.3 Infinitude comme cause de l'erreur
8 Leibniz et l'infini
8.1 L'infini en acte
8.2 Les cinq contextes de l'infini[52]
8.2.1 Dieu
8.2.2 Les idées de Dieu
8.2.3 Les monades
8.2.4 L'univers
8.2.5 La divisibilité de la matière
8.3 L'infini quantitatif dans le calcul infinitésimal
8.4 L'infini comme objet de science
8.4.1 Infini mathématique
8.4.2 Infini physique et métaphysique
9 Kant
10 Hegel
10.1 Un infini qualitatif
10.2 Une méthode à la fois analytique et synthétique
10.3 Un rapport dynamique entre fini et infini
11 Cantor
11.1 L’infini dans les ensembles
11.2 Dénombrement des ensembles : la cardinalité
11.3 Comparaison des ensembles : la correspondance biunivoque
11.3.1 Dans les ensembles finis
11.3.2 Dans les ensembles infinis
11.4 Les nombres transfinis
11.4.1 Aleph 0 et son arithmétisation
11.4.2 Le cardinal de l'ensemble des parties d'Aleph 0
11.4.3 La suite des alephs grâce aux ordinaux
11.4.4 L'hypothèse du continu
11.5 Le rejet des infinitésimaux
11.6 L’infini absolu : un fondement théologique
12 Russell
12.1 Le projet logiciste
12.1.1 La définition du nombre
12.1.2 Les démonstrations de la classe infinie
12.1.3 L’axiome de l’infini
12.2 Le fondement philosophique de l’infini mathématique
12.3 La critique de la notion kantienne de l’infini
12.3.1 Le problème de la synthèse successive de l’infini
12.3.2 Le problème de la constitution de l’espace en points
12.4 Le rejet des infinitésimaux
13 En physique
14 Les notations
15 Notes et références
15.1 Notes
15.2 Références
15.3 Bibliographie
16 Voir aussi
16.1 Articles connexes

L'infini dans les cultures orientales
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
Mathématiques indiennes
Articles détaillés : Yajur-Veda et Mathématiques indiennes#Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400).

Le Yajur-Veda documente la plus ancienne utilisation connue de nombres allant jusqu'à cent mille billions (parārdha en sanskrit2). Il utilise aussi le concept d'infinité numérique (pūrṇa), établissant que si on soustrait pūrṇa de pūrṇa, il reste toujours pūrṇa3.
L'infini et les Présocratiques

Les philosophes présocratiques étaient en fait les premiers physiciens (phusikoi). En effet, étant les premiers à avoir osé étudier la nature pour elle-même, ils en sont venus à instaurer une méthode d'analyse, de recherche et de réflexion qui deviendra plus tard celle des scientifiques et des philosophes. À cet effet, une grande partie du jargon scientifique encore utilisé à l'heure actuelle a été introduite par ces penseurs et avait à l'origine comme fonction d'exprimer les concepts indispensables pour faire progresser l'étude de la nature. Univers (kosmos), principe (archè)note 1, raison (logos), nature (phusis) sont autant d'outils avancés pour pénétrer au cœur des choses et en découvrir le mécanisme ; les fonctions traditionnelles des divinités, jusqu'alors conçues comme interventions externes, sont de ce fait naturalisées. Ces penseurs avaient donc comme objectif d'internaliser les principes gérant le fonctionnement du monde, et ainsi de trouver des explications inhérentes à la nature elle-même. À travers cet objectif, ils utiliseront directement ou indirectement le concept d'infini (apeiron)4.
Les acceptions générales du concept de l'infini chez les présocratiques

Il ne reste que quelques fragments de leurs écrits, ce qui rend la recherche difficile. C'est pourquoi, afin de savoir ce que disent les présocratiques quant au concept de l'infini, il faut consulter Aristote qui fut le premier à recenser leurs thèses. Sur l'infini, c'est dans le livre III de sa Physique qu'il énumère les points communs entre les pensées de ses prédécesseurs et les raisons qui les ont poussés à croire en l'existence de l'infini :
Quelques points d’accords sur l’infini

Les présocratiques font de l’infini un principe.

Ils ne croient pas que l’infini existe en vain, non plus qu’il ait une autre valeur que celle de principe. Pour eux, tout est principe ou provient d’un principe, or, l’infini ne provient pas d’un principe du fait même qu’il en est un.

L’infini est non engendré et non corruptible en tant que principe.

L’infini est principe de toute chose, il les dirige toutes. C’est que toute chose provient d’un principe ou est elle-même principe. D’une part, l’infini en tant que principe n’a lui-même pas de principe qui l’engendre, sa limite est celle de ne pas en avoir et il est donc non engendré. D'autre part, toute génération reçoit une fin et toute corruption a un terme. Or, non engendré, l’infini ne reçoit pas de fin et il est donc incorruptible.

Immortel et impérissable, l’infini apparaît être la divinité.note 2

Cinq raisons qui ont poussé à la croyance de l’infini

Premièrement, l'infini est dans la division des grandeurs.

Les mathématiciens aussi utilisent l'infini, et ce par la division. Par exemple, la formule de l'aire du cercle π.r2 est corroborée par la division du cercle en un nombre infini de triangles.

Deuxièmement, il y a infinité de la source.

En effet, la destruction et la génération ne s'épuisent pas, ce ne peut être que grâce à l’infinité de la source d’où tout est engendré.

Troisièmement, le temps est infini.

Toute génération reçoit une fin, mais la source n'a pas de principe qui l'engendre et ainsi elle n'a pas non plus de fin. Ainsi, le mouvement de la génération et de la corruption s'inscrit dans le temps et il est dû à une source inengendrée et incorruptible. C’est dire que le temps lui-même est infini.

Quatrièmement, il n'y a pas de limite en soi.

Ce qui est limité ne l'est que par autre chose, de sorte que rien ne sera limite puisque la limitation est toujours entre deux termes. L'infini est cette absence de limite en soi.

Cinquièmement, la représentation de l'infini ne l'épuise pas.

Aristote donne pour exemple les grandeurs mathématiques et ce qui est hors du ciel. Les quantités et les étendues ne peuvent pas circonscrire l'infini par représentation. Autrement dit, on ne peut pas cerner l'infini dans son ensemble, car l'infini est toujours plus grand que ce qu'on aura cerné.

Il est toutefois possible, à partir des fragments et des commentaires, de distinguer la pensée de chacun des présocratiques et de la comprendre pour elle-même.
L'infini à travers quelques théories présocratiques
Anaximandre
Schémas du modèle de l'univers d'Anaximandre. À gauche, le jour en été ; à droite, la nuit en hiver.

Le concept d'infini (apeiron) fut pour la première fois introduit dans la pensée du philosophe Anaximandre, élève de Thalès. Sous son influence, il voulut se pencher sur le fondement de l'univers, et c'est ainsi qu'il en vint à postuler l'infini comme principe et comme substrat des choses qui existent. En effet, le rôle de substrat ne peut être assigné à l'un des quatre éléments (l'eau pour Thalès, l'air pour Anaximène, le feu pour Héraclite), car ils sont changeants, dépendent les uns des autres et aucun ne peut être privilégié. Il faut donc, au-delà des éléments, une autre nature qui agit comme substrat d'où sont engendrés tous les mondes. Ce substrat, c'est l'infini, le principe qui engendre l'univers sous l'influence d'un mouvement éternel. Le mouvement éternel est en constante production, il s'agit en ce sens d’un « retour générique ». Ce retour a besoin d’un principe matériel qui doit être inépuisable afin de tout produire éternellement. C’est celui de l’apeiron et c’est en ce sens que l’infini est aussi mouvement éternel chez Anaximandre.
L'école pythagoricienne

Parmi ses doctrines, l'école avance celle de l'éternel retour : les choses seront de nouveau les mêmes. Si pour d'autres philosophes, comme Anaximandre ou Héraclite, un retour générique peut être observé, chez certains pythagoriciens il existe un retour individuel qui peut se reproduire à l'infini. En effet, s'il y a 1) un nombre fini d'événements possibles, 2) si chaque événement possède une cause et que 3) une même cause doit toujours produire un semblable effet, il en résulte qu'au sein d'un temps infini les événements reviennent nécessairement5.
Héraclite

Pour Héraclite, le feu est le principe de l'univers : toute chose est convertible en feu et le feu en toute chose. D'une part, l'infini s'y retrouve à travers la génération car pour lui, toute chose advient par le conflit et la nécessité (toute chose est mue vers son contraire). Mais le feu, en tant qu'unité fondamentale de cette pluralité contradictoire, n'est jamais épuisé par ces tensions dynamiques, par ces transformations. D'autre part, l'infini caractérise le temps car pour Héraclite, l'univers n'a ni commencement ni fin. Le cosmos était, est et sera toujours feu éternel.
Parménide

Quant à Parménide, la conception de l'infini inhérente à sa pensée se retrouve dans l'explication de l'immobilité et de l'éternité de l'être, et ce contrairement à Héraclite. En effet, Parménide considère que l'être ne peut pas changer, sinon il ne serait pas. Ainsi, il doit être immobile. De plus, la génération et la corruption sont également des formes de changement, et c'est pourquoi l'être doit être éternel, c'est-à-dire qu'il est inengendré et impérissable. L'infini est donc nécessaire à l'existence d'un être éternellement identique.
Mélissos

Mélissos, élève de Parménide, considère que ce qui existe, ou plutôt ce qui est, doit être unique : il n'existe qu'une seule chose. Fondé sur les dires de son maître, il affirme qu'une chose qui existe, existe toujours, mais il ajoute qu'elle doit également toujours être infinie en grandeur. L'argument prend comme point de départ l'impossibilité du vide. Par exemple, s'il n'y a rien entre plancher et plafond, c'est dire que le plancher et le plafond sont contigus, et qu'il n'y aurait pas de séparation entre ces deux termes. Le vide ainsi expulsé, s'il y a de l'être, il n'y a que de l'être. Ensuite, toute chose doit être dans un espace et il n'y a qu'un espace, or ce dernier est occupé pleinement par l'être et par un être qui est unique. En effet, nul ne peut dire de l'être qu'il est et qu'il n'est pas, ni dire qu'un être est à certains endroits et pas à d'autres. C'est pourquoi l'être est infini en grandeur, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de limite à l'être.
Démocrite

En ce qui concerne Démocrite, la nature est constituée de petites substances illimitées en nombre qui se trouvent dans un lieu qu'il nomme l'infini. Cette infinité de petites substances qui nagent dans un vide infini et éternel parfois s'agglomèrent et forment les corps visibles à travers leur mouvement. L'infini se retrouve donc dans une division des corps en une infinité de substances, ce qui constitue la première théorie atomiste.

D'autres penseurs présocratiques ont également utilisé le concept d'infini dans leurs recherches, tels que Anaximène, Alcméon de Crotone, Xénophane et Zénon d'Élée.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:50

Les paradoxes de Zénon
Article détaillé : Paradoxes de Zénon.
Zénon d’Élée montrant à ses disciples la porte du Vrai et celle du Faux, fresque de l'Escurial, Madrid, fin du XVIe siècle.

Zénon est un philosophe grec de l’Antiquité (environ 400 av. J.C.). Habitant d’Élée, il avait comme maître Parménide qui défendait le fait que la réalité est immuable. Zénon ne traite pas directement du sujet de l’infini. Il se sert plutôt de la notion d’infini dans le cadre d’élaboration de preuves par l’absurde visant à prouver l’impossibilité du mouvement. La méthode de Zénon consistait à utiliser des prémisses admises par tous et d’en déduire des conclusions absurdes ou contraires. Il voulait donc montrer que le mouvement n’est qu’une illusion et que croire l’inverse conduit nécessairement à des contradictions. On doit de nombreux paradoxes à Zénon (au moins une quarantaine), mais seuls quelques-uns sont connus, à travers les écrits d’Aristote. Des quatre paradoxes sur le mouvement cités par Aristote, deux utilisent l’infini pour prouver que les prémisses affirmant la possibilité du mouvement aboutissent à l’absurde.

Dans les deux paradoxes qui suivent, Zénon utilise la prémisse selon laquelle l’espace peut être divisible à l’infini pour montrer que le mouvement ne peut exister. La portée philosophique de Zénon est incontestable ; selon Aristote, il aurait été l’inventeur de la dialectique.
La dichotomie
Article détaillé : Paradoxe de la dichotomie.

Si le mouvement existe, un corps en mouvement doit se déplacer sur une certaine distance en un temps fini ; mais avant d’avoir parcouru toute la distance, le corps doit d’abord en avoir parcouru la moitié ; et avant d’en avoir parcouru la moitié, il doit avoir parcouru la moitié de cette moitié. Puisque toute distance est divisible en moitiés, et ce, à l’infini, et puisqu’il est impossible de parcourir un nombre infini de positions en un temps fini, le mouvement n’existe donc pas.
Achille et la tortue
Article détaillé : Paradoxe d'Achille et de la tortue.

Achille, héros de la mythologie grecque, ne peut rattraper la tortue qu’il poursuit ; en effet, avant de la rattraper, il doit d’abord atteindre le point d’où celle-ci est partie au début de la course. Mais pendant ce temps, la tortue continue d’avancer d’une certaine distance ; même si cette distance est moins grande que celle parcourue par Achille (car la tortue est plus lente), elle avance quand même, elle n’est pas immobile. Ainsi, durant le temps qu’il faut à Achille pour parcourir cette deuxième distance, la tortue a encore parcouru une certaine distance. Donc, même si cette distance diminue à chaque étape, la tortue ne sera jamais rattrapée par Achille6,7.
Avicenne
Avicenne - portrait sur un billet de banque au Tadjikistan
Avicenne reprend Aristote

Avicenne, pour établir sa métaphysique, a repris celle établie par Aristote, mais lue à travers Al-Fârâbî et le néoplatonisme8. C’est-à-dire qu’il va comprendre des notions aristotéliciennes, mais dans un contexte théologique. Ainsi, il reprend l’idée du monde éternel, mais dans une métaphysique créationniste9. Dans le cadre de l’infini, il est évident que l’existence d’un Dieu viendra donner un sens nouveau à la métaphysique d’Aristote car Dieu amène des notions d’infini qui ne sont pas présentes chez Aristote. Avant de poursuivre, il faut définir certains concepts afin de montrer comment Avicenne les utilise.
La distinction entre acte et puissance

La puissance est définie comme étant : « toute disposition se trouvant dans une chose et étant principe de changement »10, tandis que l’acte (ou l’actualisation) étant ce passage de l’état de repos à l’état actif, une chose changeant d’état passerait de la puissance à l’acte. On peut prendre par exemple, la graine qui détiendrait l’arbre en puissance et qui deviendrait acte une fois celui-ci poussé. À ce sujet Aristote accepte l’infini en puissance (sous forme d’infini par division et par addition), mais rejette l’infini en acte. Avicenne va rajouter une sous-division entre actualité forte/faible et potentialité forte/faible11.
L’infini dans le monde supralunaire

Notons tout d’abord que Dieu est par définition infini et c’est le principe premier d’où tout émane12, mais Dieu n’est pas le seul être infini ; il y a une dépendance ontologique des intelligences célestes (qui sont au nombre de dix) envers le premier principe, dépendance traduite par le désir de se rapprocher de la perfection de Dieu. Le désir comme principe de motion étant le fait de vouloir atteindre Dieu, lui ressembler. Ce désir de perfection, serait le principe de tout mouvement selon Avicenne13. Ainsi, les intelligences céleste en désirant le premier principe feraient mouvoir les sphères leurs correspondant dans un mouvement infini.

Avant de poursuivre, il faut préciser que le mouvement en question dans le monde supralunaire est différent de celui dans le monde sublunaire14. Dans le premier cas, le mouvement est constant ; il a toujours la même vitesse. C’est pourquoi on peut dire qu’il y a un infini présupposé pour les intelligences célestes. Cependant, dans le monde sublunaire, le mouvement est sujet à la décélération et l’accélération.

Pour conclure sur ce point, il faut nommer une autre preuve abondant dans le sens de la présence de l’infini chez les intelligences célestes, c’est-à-dire, le passage où Avicenne dit que même ce qui est infini (et nécessaire) requiert une cause15. Enfin, notons que si Avicenne parle de l’infini dans le monde supralunaire, il ne le classifie pas comme il va le faire pour l’infini présent dans le monde sublunaire. Probablement parce que l’infini métaphysique ne présente pas a priori autant de problèmes que l’infini dans un monde limité (physique).
L’infini dans le monde sublunaire

Tout d’abord, l’infini en acte est amené par la théologie ; les âmes (des hommes) étant immortelles, il y en a donc une infinité dans un monde éternel16. C’est d'ailleurs ce qui caractérise l’infini en acte fort dans l’avicennisme.

L’infini en acte faible étant quant à lui défini par les évènements et les années passés11. Pour bien comprendre ce type d’infini, il faut maintenant s’attarder au concept de causalité. Car, selon Avicenne, il y aurait des causes accidentelles (ou adjuvantes) en nombre infini. En d’autres termes, il y a une succession infinie de causes préparatrices. Ici entre en jeu la distinction entre causes essentielles et causes adjuvantes. Les causes essentielles (ou vraies) étant liées au mouvement, au continu, car elles demeurent avec l’effet. Les causes vraies « empêchent la non-existence de la chose »17. Les causes adjuvantes sont secondaires car elles sont antérieures à la chose. Celles-ci seraient en nombre infini selon Avicenne. On peut penser à la relation père/fils qui remonterait de génération en génération pour expliciter ce fait. Car, dans le contexte d’un monde éternel, il y a une infinité de relations filiales. En effet, « […] ce qui va ad infinitum c’est un individu qui vient après un autre […] »18.

En ce qui concerne l’infini en puissance fort, il est toujours le même que l’infini en puissance d’Aristote, à savoir l’infini par division et par addition. C’est pourquoi il ne sera pas plus détaillé dans cet article. En effet, comme dans les paradoxes de Zénon, on peut facilement imaginer la division d’une ligne en quatre parties, la division de chacune de ces parties en quatre et ainsi de suite, à l'infini.

Concernant l’infini en puissance faible, il se trouve dans le mouvement. Tel que mentionné précédemment, ce mouvement ne correspond pas à celui des sphères célestes. En effet, celui-ci, n’est pas réellement continu et peut se regarder de différentes façons. On peut déjà le voir comme le mouvement général d’un corps. Cependant, cette définition du mouvement ne sera pas celle important dans le cas de l'infini en puissance faible ; l’impulsion concrète d’un corps à un instant précis étant plutôt la définition à retenir11. En d'autres termes, le passage d’un temps A à B serait un mouvement constitué d’une infinité de temps. On peut penser à une addition infinie de points mis bout à bout pour former une ligne. Cette ligne, comme le mouvement, serait d’apparence continue mais serait en réalité constituée de plusieurs points intermédiaires19.
Jean Duns Scot
John Duns Scot
Un apport à l'infini mathématique

Dans une démonstration du mouvement continu des anges au Livre II de l'Ordinatio, Scot soulève deux paradoxes qui entreront dans la postérité. Dans sa défense, il voudra réfuter la thèse selon laquelle le continu est formé d'indivisibles. Chez Aristote, dans Le Livre VI de la Physique, il est clair qu'« il est impossible qu'un continu soit formé d'indivisibles, par exemple qu'une ligne soit formée de points, s'il est vrai que la ligne est un continu et le point un indivisible »20, mais cette preuve inspirée de l'autorité du Philosophe ne lui suffit pas. Il proposera deux problèmes géométriques du même esprit montrant tout le contradictoire d'une telle théorie.

Dans l'une des deux, on trace deux cercles concentriques à partir d'un centre a. Le petit, noté D et le plus grand, noté B. Scot dira que puisque, selon cette théorie, la circonférence du grand cercle est formée de points, il est possible d'en identifier deux, b et c. Du point a, traçons une ligne droite le joignant à chacune de ces deux points de manière à ce que les deux droites formées coupent le petit cercle D. La question : les droites ab et ac coupent-elles D en un seul point ou en deux points distincts ? S'il s'agit du même point, l'une des deux droites ne sera plus droite (mais courbe) ce qui entre en contradiction avec la prémisse du départ. Dans le cas contraire, B et D incluraient le même nombre de points, pourtant, fait remarquer Scot, il est impossible à deux cercles inégaux d'être composés d'un nombre égal de parties égales. Il en découle qu'un continu, ici représenté par la ligne, ne peut être composé d'un nombre de points discrets21.
Le paradoxe des cercles

Bien que Scot lui-même n'ait pas explicité la chose dans ces termes, pour sa postérité, il s'est retrouvé à illustrer à l'aide de ces figures géométriques, en germe, certaines des découvertes les plus importantes concernant l'infini mathématique se retrouvant entre autres chez Georg Cantor. Les rayons issus du centre créant entre les points des deux cercles une correspondance biunivoque, le paradoxe soulève la possibilité pour deux ensembles infinis d'indivisibles d'être égaux malgré leurs tailles manifestement inégales22.

D'ailleurs, dans une autre démonstration, Duns Scot se frottera à de pareils débats quant à la grandeur des infinis. Scot à la question 3 du livre II, distinction 1 de l'Ordinatio rabat l'objection selon laquelle il serait impossible pour Dieu de produire quelque chose d'autre que lui-même sans que cette production ait un commencement23. Selon cette objection, si la création est ab aeterno sine principio, l'infini qui a mené jusqu'à hier est équivalent à l'infini qui s'est écoulé jusqu'à aujourd'hui ce qui va à l'encontre de l'axiome d'Euclide voulant que la partie soit toujours plus petite que le tout. À cela, dans un premier temps, le Docteur répondra que ces deux dernières caractérisations ne sont applicables qu'aux grandeurs finies puisque les choses se divisent en fini et infini avant que « plus grand » ou « plus petit » ne s'appliquent. Cependant, ses adversaires soulèvent le problème qu'une création de toute éternité produirait une quantité infinie d'âmes en acte, or, une telle chose est impossible selon le Philosophe. Devant cette objection, Scot développe davantage : « Tout ce qui ne peut pas être fait par Dieu en un jour, parce que « cela implique contradiction » ne pourrait, pour la même raison, être fait par lui au cours d’un temps d’une durée infinie. »24 Il en vient à cette conclusion : « Il apparaît donc, que les instants de ce jour – voire de cette heure – ont une infinité égale à celle des instants infinis de ces jours infinis. »24 Cette intuition se verra, entre autres, confirmée par Richard Dedekind dans sa définition d’un ensemble infini qui se caractérise justement par l'équivalence entre le dit ensemble infini et une de ses parties propres de ce point de vue25.
De l'infini mathématique à l'infini théologique

Il n’en demeure pas moins que le fondement de l’affirmation par Scot qu’il existe quelque chose comme un infini en acte est théologique. Jean Duns Scot refuse qu’il soit impossible pour Dieu de créer spontanément une infinité en acte. En effet, selon Aristote une grandeur ne peut être infinie qu’en puissance. Or, voulant construire l'idée d'une nature infinie intensivement (selon la qualité), Scot fait un passage obligé par la démonstration d'une grandeur extensivement (selon la quantité) infinie en acte26. Selon la définition d’Aristote au Livre III de la Physique, l’ « infini est ce qui est tel que lorsqu’on en prend une quantité, c’est-à-dire quelque grande que soit la quantité qu’on prend, il reste toujours quelque chose à prendre »27, donc un tout infini n’est qu’une réalité potentielle et par cela, conclut Scot, imparfaite. Pour remédier à une telle situation, le médiéval imagina à partir de cet infini potentiel ce qu’il serait en acte :

Pour notre propos, dit Duns Scot, transformons la notion d’infini potentiel dans la quantité en la notion de l’infini en acte dans la quantité en supposant qu’il puisse être en acte dans la quantité. Nécessairement, la quantité croîtrait toujours, en prenant une partie après l’autre, mais si nous imaginons que toutes les parties qui peuvent être prises successivement le sont simultanément, alors nous aurons une quantité infinie en acte, puisqu’elle sera aussi grande en acte qu’elle l’est en puissance. Si donc toutes les parties étaient conçues comme présentes en acte simultanément, l’infini ainsi imaginé serait véritablement un tout et serait véritablement parfait, car il n’y aurait rien au dehors. Bien plus, nulle quantité ne pourrait lui être ajoutée, car alors il pourrait être excédé. »28

Par ce passage, Jean Duns Scot fait de l’infini non pas ce qui laisse toujours quelque chose derrière, mais bien ce qui excède le fini selon toute proportion déterminée ou déterminable29.

Le passage de l'infini en quantité à l'infini sous le mode de la qualité ne se fait pas non plus sans Aristote. Bien que chez ce dernier l'infini ne s'applique qu'aux grandeurs, il ouvre une porte au livre V de sa Métaphysique admettant la transposition de notions quantitatives à d'autres objets « par extension »30. À la question 6 du Quodlibet, Scot commente ce dernier passage et montre que des termes quantitatifs comme petit, grand, moins, plus, sont applicable à tous les êtres, peu importe leur genre. La transposition de la physique à la métaphysique est, par là, possible. Toutefois, Scot voudra faire de l'infini non un accident mais une quantité d'être ou quantité de perfection. Il tire de l’océan d'être infini de l'essence divine de Jean de Damas le concept de l'infinité comme mode d'être intrinsèque d'une nature infinie: « de même que l'océan ne serait l'océan sans l'immensité de sa masse, de même l'essence divine ne serait pas l'essence qu'elle est sans la magnitude qui est la sienne. »31 Dans la mesure où nous concevons un être infini actuel en entité, explique Scot, il se doit d'être pensé sous le mode d'une quantité infinie actuelle, c'est-à-dire qu'aucun autre ne saura le dépasser en entité. En cela, il « sera véritablement un tout, et un tout parfait »32.
L’infini dans la métaphysique et la théologie scotiennes

Dans la métaphysique de Jean Duns Scot, le concept d'infini est assimilé aux transcendantaux. Les transcendantaux, outre l'étant, sont des attributs qui peuvent être, chez le Docteur Subtil soit : des attributs disjonctifs (infini/fini, possible/nécessaire, en acte/en puissance, etc.) ; des attributs convertibles (l'un, le vrai, le bien…) qui sont directement coextensifs avec l'étant ; des perfectiones simpliciter (i.e. un prédicat qui n'admet pas de limite telle que l'intelligence divine par exemple)33.

Le couple d'attributs disjonctifs infini/fini permet d'établir une mesure de l'être, non plus au sens strictement quantitatif, mais plutôt au sens d'un degré d'excellence de l'être. Il s'agit d'une différence strictement modale – plutôt que formelle – entre les êtres : Dieu est sur le mode de l'infini, alors que l'homme est sur le mode de la finitude. Cette précision – qui ne s'inscrit pas seulement dans la métaphysique scotienne, mais aussi dans le cadre d'un argument théologique portant sur l'existence de Dieu infère que la différence entre un être fini et un être infini n'est pas une différence générique ce qui, au sein du raisonnement du Docteur Subtil, permet de sauvegarder la simplicité divine34.

En vertu de la théologie naturelle scotienne et, plus largement, de sa théorie cognitive, il est possible pour l’homme de connaître à l’aune de son expérience sensible. Ainsi, si la connaissance essentielle de Dieu n'est pas accessible ici-bas faute de pouvoir faire l'expérience de ce dernier, il est cependant possible de prédiquer à Dieu des attributs partagés avec lui (comme l'intelligence) en vertu de la théorie scotienne de la prédication univoque35. Par exemple, s'il est possible de prédiquer l'intelligence à Marie, de même peut-on attribuer l'intelligence à Dieu, mais pas sous le même mode que celui de la créature finie. Pour Dieu, il s'agira d'une perfectiones simpliciter. Il s'agit du même concept d'intelligence, mais qui n'est pas donné sous le même mode chez la créature finie et chez Dieu, être infini.

De plus, la créature finie sera aussi en mesure de parvenir à la caractérisation la plus parfaite et la plus simple du Premier principe. Comme vu plus haut, on parvient précisément à cette caractérisation positive avec le concept d'infini, sous-tendant tous les attributs que l'on peut prédiquer à Dieu36. Scot renverse ici l'infini en tant que concept négatif pour en faire un concept positif. En effet, on pourrait défendre la négativité du concept d'infini sur le plan étymologique par la présence du préfixe in qui implique une négation. Considéré comme tel, il serait alors contradictoire de parler de l'infini comme une caractérisation positive de Dieu. On peut analyser un tel renversement d'un point de vue logique en affirmant que, la finitude étant en soi concept impliquant une limite négative, l'ajout du préfixe in, la double négation fait naître (sur le plan logique et formel du moins) un concept positif. Cependant, pour Scot, la nature de la distinction du couple fini/infini est métaphysique et non formelle ou linguistique37. Ainsi, défendre la positivité ou la négativité du concept à partir de la sphère de la logique ou, plus simplement, de l'étymologie est inutile dans l'optique scotienne ; il faut plutôt admettre sa positivité comme un présupposé métaphysique.
Galilée

Galilée remarque qu'il y a une correspondance biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que l'assertion commune « le tout est plus grand que la partie » ne se vérifie pas lorsqu'on parle de quantités infinies38. Cependant, loin d'y trouver une motivation pour l'étude des ensembles infinis, il y voit la preuve du caractère non opérationnel de tels ensembles, position approuvée plus de deux siècles plus tard par Cauchy39. Ainsi donc, jusqu'assez avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d'utiliser directement les ensembles infinis et préféraient raisonner « en compréhension » sur les propriétés de leurs éléments. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute grandeur donnée, ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue39.
Descartes
L’infini dans la pensée métaphysique de Descartes40
Dieu en tant qu’unique infini

Dans la pensée métaphysique de Descartes, seul Dieu peut être qualifié d’infini. La Méditation III offre une définition de ce dernier : « Par le nom de Dieu j’entends une substance infinie, éternelle, immuable, indépendante, toute connaissante, toute puissante, et par laquelle moi-même, et toutes les autres choses qui sont ont été créées et produites. »41 La notion d’infini réel ou en acte est strictement réservée à Dieu ; seul Dieu est infini car il est l’être infini lui-même. Il est donc question chez Descartes d’un infini d’ordre qualitatif ; d’une perfection infinie qui existe uniquement chez l’être parfait, chez Dieu - « il n’y a rien que je nomme proprement infini, sinon ce en quoi de toutes parts je ne rencontre point de limites, auquel sens Dieu seul est infini. »42
L’idée de l’infini dans la pensée de l’homme

La notion d’infini a toutefois aussi une place dans l’homme, dans sa pensée. Elle s’y trouve contenue en lui en tant qu’idée qui lui est innée ; l’homme possède une idée de l’infini, il est capable de concevoir, à sa manière limitée, l’infini. C’est précisément cette idée de l’infini que Descartes assimile à l’idée de Dieu en l'homme ; « la notion de l’infini […] c’est-à-dire de Dieu. »41 Il s’agit simplement de la conception que l'on est capable de se faire d’un être infini et parfait, en d’autres termes de notre idée de la divinité. Bien qu’il ne s’agisse pas de l’infini véritable, qui lui ne se trouve qu’en Dieu lui-même, l’idée de l’infini (ou de Dieu) que l’on retrouve dans la pensée de l’homme occupe une place importante dans la métaphysique cartésienne car elle est ce à partir de quoi Descartes infère l’existence effective et réelle de Dieu (hors du cogito). C’est la preuve de l’existence de Dieu dite « par l’infini », que l’on retrouve dans la Méditation III.
La preuve par l’infini de la Méditation III

L’idée de l’infini témoigne de la finitude de l’ego cartésien, du je qui pense cet infini. Le degré de perfection du contenu que représente cette idée est d’une telle ampleur qu’il rend manifeste la finitude du je dans lequel loge cette idée même. Ultimement, Descartes veut montrer qu’il est impossible que cette idée, dont le contenu possède un tel degré de perfection, puisse être la création du je qui pense, puisse être causée par lui de quelconque manière43. Cela étant, elle ne peut être « imprimée »44 ou se trouver dans ce même je qu’en vertu d’un être qui lui soit externe, c’est-à-dire autre que le je, et qui possède formellement ou en acte suffisamment de perfection afin de pouvoir être l’auteur ou la cause du contenu de notre idée de l’infini. Pour Descartes, il ne peut s’agir que de Dieu, d'un être possédant réellement en lui l'infinité et la perfection que l’ego ne peut qu’à peine et de manière bien limitée concevoir. Descartes dira, de manière métaphorique, que l’« on ne doit pas trouver étrange que Dieu, en me créant, ait mis en moi cette idée pour être comme la marque de l’ouvrier empreinte sur son ouvrage. »45

Bien que l’homme soit donc capable de penser l’infini, il ne peut le faire qu’avec ses capacités limitées, celles de l’être fini qu’il est. Bien qu’il tende à le comprendre, et s’aime à le contempler, il ne pourra jamais saisir cet infini dans sa totalité, dans sa perfection. De son idée de l’infini qu’il trouve en lui, l’homme doit donc se contenter de la simple certitude qu’elle lui permet d’acquérir de l’existence effective, extérieure à sa pensée, de cet infini et que ce dernier soit non seulement la cause de cette idée mais aussi bien de l’existence de l’homme ainsi que de toute chose qui est44. « Et toute la force de l’argument dont j’ai usé ici consiste en ce que je reconnais qu’il ne serait pas possible que ma nature fût telle qu’elle est, c’est-à-dire que j’eusse en moi l’idée d’un Dieu, si Dieu n’existait véritablement ; ce même Dieu, dis-je, duquel l’idée est en moi, c’est-à-dire qui possède toutes ces hautes perfections, dont notre esprit peut bien avoir quelque idée sans pourtant les comprendre toutes, qui n’est sujet à aucun défaut, et qui n’a rien de toutes les choses qui manquent quelque perfection. »44

L’infini dans l’homme, sous forme d’idée innée, permet donc de connaître que cet infini existe actuellement hors de l’homme mais ne peut néanmoins propulser l’homme vers une connaissance absolue de cet infini. Ce serait là une contradiction avec la notion même de ce que signifie l’infini chez Descartes. En effet, l’infini ne pourrait, par sa nature, jamais être compris par le fini. Descartes dira qu’« il est de la nature de l’infini, que ma nature, qui est finie et bornée, ne le puisse comprendre. »45 Le créateur ne saura jamais être compris par sa créature.

Notre conception de l’infini nous permet donc non seulement de constater notre propre finitude, mais également d’inférer avec certitude qu’un tel être infini doit nécessairement exister hors de nous-mêmes, bien qu’on ne puisse jamais espérer le comprendre entièrement. Descartes nomme cet être Dieu46.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:51

Infini et l'indéfini
La distinction entre infini et indéfini

Alors que l'infini se dit de Dieu, l'indéfini se dit du monde physique et des mathématiques. L'indéfini désigne ce dont on ne peut prouver les bornes. Sa véritable nature est l'indétermination, puisque ni fini, ni infini. Tout ce qui est ontologiquement second à Dieu est seulement indéfini, c'est-à-dire qu'il traduit l'ignorance du sujet. Pourtant, Dieu lui-même échappe à l'homme. L'essence de l'infini déborde toute tentative dicible. Il y a inadéquation entre l'idée de l'infini en moi et l'infini, puisque vouloir dire l'infini, l'écrire ou le définir excède toujours la compréhension qu'on peut en avoir. L'idée de l'infini, se présente comme un paradoxe: c'est à la fois l'idée la plus claire et distincte, et l'idée la plus incompréhensible. En affirmant qu'il est faux de concevoir l'infini en niant le fini, Descartes suggère que l'on doit se contenter de se servir d'expressions négatives tout en les refusant sur le plan du sens, non seulement parce que l'essence de l'infini déborde toute tentative de le renfermer dans le langage, mais aussi que la mesure dans la positivité est essentielle à l'infini47.
Descartes, héritier d'Aristote ?

La tradition a plutôt interprété l'indéfini cartésien comme un infini en extension ou infini spatial. Ce qui est présupposé dans cette interprétation est que Descartes reprend le couple infini en acte et infini potentiel d'Aristote. Jean-Baptiste Jeangène Vilmer47 suggère de mettre en cause cette interprétation et considérer plutôt une interprétation littérale de la notion d'indéfini dans la pensée de Descartes ; c'est-à-dire indéfini comme in-défini ou non défini. Notons qu'il y a des raisons métaphysiques pour refuser de considérer que l'indéfini soit un infini en son genre, dont le genre serait l'étendue. Ontologiquement, l'infinie positivité de Dieu implique nécessairement l'existence d'un seul infini. Aussi, l'étendue étant la marque du corps, cela constitue un défaut. On ne peut donc pas la prédiquer à Dieu, qui est infinie perfection. Enfin, puisque l'infini de Descartes n'est pas un infini de quantité, mais un infini de qualité - la perfection - on doit voir une différence de nature et non de degré entre infini et indéfini.
Métaphysique et physique

Cette distinction entre infini et indéfini s'explique aussi par le rapport de subordination qu'il y a entre métaphysique et physique chez Descartes. La métaphysique est la science des sciences, celle qui permet d'atteindre les principes de base et d'expliquer les fondements du savoir. Plus encore, les évidences des sciences ont besoin d'être ultimement garanties par l'existence de Dieu. La preuve de Dieu étant le fondement de l'ontologie, pour Descartes « un athée ne peut être géomètre », elle assure la validité des vérités éternelles48.
Rôle de la volonté
Volonté comme marque divine

On a noté que l'idée de l'infini se présente comme un paradoxe. La clarté de la notion d'infini, vient de l'idée innée d'infini. Dieu ayant fait l'homme à son image, il y a forcément un rapport de ressemblance entre les deux. C'est la volonté qui a pour Descartes un rôle d'image ou de marque divine. On ne peut concevoir cette ressemblance que par la même faculté par laquelle on se conçoit soi-même. Cette faculté est la volonté, soit le pouvoir d'affirmer ou de nier sans qu'une force extérieure nous y contraigne, c'est-à-dire porter un jugement qui lie des idées entre elles. On ne parle jamais de son caractère infini, mais seulement de son infinitude parce qu'elle est précisée seulement semblable49.
L'infinitude de la volonté

Cette infinitude est le but, l'aspiration naturelle ou le désir que l'homme a pour l'infini. Pour éviter que l'infini soit objet et donc vienne contredire l'idée d'infini, il est nécessaire que l'infini soit l'origine et le but de l'homme. Ainsi, l'infini est origine puisque l'homme est marqué par lui en ayant l'idée innée de l'infini. Et l'infini est aspiration naturelle, puisque c'est la manifestation du refus du fini. L'idée de l'infini qui est en moi, c'est-à-dire en tant qu'idée innée, est le point de départ pour dépasser le solipsisme et de démontrer l'existence de l'infini. On doit ensuite remarquer que dans la conception de la volonté de Descartes, volonté et liberté sont liées, voire confondues. Il définit la liberté comme l'amplitude de notre volonté. Alors, poser que la volonté est infinie c'est dire que son amplitude est infinie, et ainsi l'homme a une infinie liberté. Si on peut affirmer son infinitude, c'est parce que la volonté porte les signes de l'infini: soit la positivité et l'incompréhensibilité. La positivité de la volonté se traduit par l'évidence du libre arbitre, alors que son incompréhensibilité réside dans le paradoxe de la finitude de mon entendement et de l'infinie volonté49.
Infinitude comme cause de l'erreur

On peut aussi voir la cause de l'erreur dans l'infinitude de la volonté ; l'erreur est une imperfection dont Dieu ne peut être responsable, étant infiniment bon et parfait. La cause se situe donc nécessairement au niveau de l'esprit humain, dans l'usage de ses facultés. On définit l'esprit humain comme cette chose qui pense, composée de l'entendement et de la volonté. D'abord, l'entendement est une faculté passive qui reçoit les idées. Bien que l'entendement humain soit fini, il ne peut être la cause de l'erreur puisqu'une idée ne peut pas être plus ou moins vraie, seulement plus ou moins claire et distincte. Ensuite, la faculté de la volonté est active. Elle lie les idées ensemble pour former des jugements. Les relations ne peuvent pas être erronées en soi. Elle ne peut donc pas être seule cause de l'erreur. Descartes montre que l'erreur se produit lorsque la volonté dépasse les limites de l'entendement et pose des relations entre des idées qui ne sont pas claires et distinctes. Tel est l'effet de l'infinitude de la volonté50.
Leibniz et l'infini
L'infini en acte

C’est avec Gottfried Wilhelm Leibniz que l’actualité de l’infini sera pour la première fois objet d’une véritable analyse, étant donné que cette actualité est affirmée positivement. L’infini joue dans le système leibnizien un rôle fondamental quant à l’existence de toute chose. Cette affirmation s’oppose directement à la pensée aristotélicienne selon laquelle le concept d’infini ne peut être pensé que comme un possible. Selon Leibniz, l’infini en acte est la condition de possibilité de toute opération d’addition et de division, en tant que sa réalité est toujours déjà présupposée51.
Les cinq contextes de l'infini52
Dieu

Selon Leibniz, seul Dieu et ses attributs peuvent véritablement être dits « infinis ». En ce sens, tous les autres contextes où l'on trouve l’infini ne sont que des expressions plus ou moins parfaites de l’infinité de Dieu. Cette absolue infinité s’explique par la prémisse selon laquelle Dieu est parfait, la perfection étant ici entendue comme « la grandeur de la réalité positive prise précisément, en mettant à part les limites et bornes dans les choses qui en ont ». Dieu ne pouvant être limité, c’est sa perfection même qui est infinie. De par son infinité, Dieu est d’ailleurs le terme ultime de la série infinie des faits contingents du monde, en tant que raison suffisante dernière53.
Les idées de Dieu

C’est dans les idées de Dieu que l’on trouve une infinité de mondes possibles. L’infini y est donc d’abord possible, puis réel. Le passage du possible au réel est régi par le principe de la détermination du meilleur. En effet, la création du meilleur monde possible par Dieu s’effectue selon un calcul qui prend en considération l’infinité des possibles. Par la combinatoire, Dieu compare d’abord l’infinité des possibles, puis également l’infinité des systèmes possibles, pour finalement déterminer le système présentant le plus haut degré de perfection. Il y a donc dans les idées de Dieu infinité d’infinis54.
Les monades

L’infini se trouve également dans les réalités individuelles (monades). Les monades étant par nature perceptives et appétitives, elles rassemblent une multitude de perceptions dans leur unité substantielle. Leur capacité de représentation n’est donc pas limitée à un aspect partiel des choses, mais à la multitude des choses dans l'univers, ce qui pousse Leibniz à affirmer « qu’elles vont toutes confusément à l’infini, au tout » (Monadologie par.60) . Il ne faut cependant pas se méprendre quant à la nature bel et bien finie de la monade. Ce type de réalité est fermée, « sans porte ni fenêtre », mais elle accède par ces états à la multitude des choses de l’univers. La monade est ainsi une réalité finie dont la capacité représentative est infinie. La différence entre l’infinité de Dieu et l’infinité de la monade est dès lors une différence quant à la manière d’être infini.
L'univers

L’univers accède également à l’infini, mais en un tout autre sens. L’univers n’est ni une totalité, ni une réalité unique et simple. Il est plutôt un « amas d’un nombre infini de substances ». C’est donc que le monde créé, de par l’infinité des substances et la division infinie de la matière, ne peut être unifié. Il est donc ici question d’un agrégat d’une infinité de réalités à quoi l’on ne peut assigner de limite55.
La divisibilité de la matière

La nature est pour Leibniz une structure de corps étendus, ces corps étant divisible à l’infini. Leibniz compare d’ailleurs la nature à un étang habité par une multitude de créatures, où chaque parcelle de l’étang contient en lui-même une infinité d’étangs. C’est donc que la division de la matière est à comprendre non seulement comme une première division à l’infini, mais également selon une multitude de divisions où chaque partie actuellement divisée est elle-même divisée à l’infini, et ainsi à l’infini. Cette division est d'ailleurs imaginée par Leibniz selon qu'il s'agirait de « plis» qui vont à l'infini. La divisibilité des corps à l'infini doit être représentée non pas comme un nombre infini de grains de sable, mais comme les plis infinis d'une feuille de papier, où l'on ne peut atteindre le pli ultime56.
L'infini quantitatif dans le calcul infinitésimal

Conceptuellement, la présence de la notion d’infini dans le calcul infinitésimal est problématique. L’utilisation des expressions « dx » et « dy », qui semble faire référence à une quantité infiniment petite de temps ou d’espace peut en effet être la source de confusion. Leibniz mentionne à cet égard que le calcul infinitésimal est autonome opératoirement quant à sa métaphysique, et que l’écriture infinitésimale possède une valeur strictement instrumentale. Le calcul infinitésimal peut donc être dit indépendant de la métaphysique leibnizienne du point de vue de son fonctionnement. L’infini mathématique, en tant qu’infini quantitatif, s'apparente davantage à un « faux infini », ou à un infini simplement possible ; les différentielles sont des grandeurs qui n’existent pas avant d’être instrumentalement posées57.
L'infini comme objet de science
Infini mathématique

L’infini actuel et l’infini possible peuvent tous deux être objets d’une science. En ce qui a trait à l’infini mathématique, bien qu’il soit considéré comme un « faux infini » (potentialité), il est clair pour Leibniz qu’il est possible de connaître la loi d’une progression interminable de quantité. En ce sens, la raison suffisante de cette progression est accessible ; nous en avons donc une connaissance.
Infini physique et métaphysique

Le concept d’infini en acte est une idée innée. En ce sens, l’idée d’infini est évidente par elle-même et donc soumise uniquement au Principe de non-contradiction, ce qui la rend rationnelle. Il est également possible d’avoir une idée adéquate de l’infini métaphysique ou véritable, c'est-à-dire qu'il est possible d'en avoir une connaissance ou d'en présenter une définition dont l'on connait distinctement tous les termes. Dieu, de par ses attributs infinis, soit l'éternité et l'immensité, peut alors être connu. Or les monades sont des réalités finies qui ne peuvent percevoir l’infini que du point de vue dans lequel elles sont placées. C’est donc seulement en Dieu que la compréhension parfaite de l’infini est possible58.
Kant

La première des quatre antinomies de Kant est exprimée comme suit dans la Critique de la raison pure59 :

thèse « Le monde a un commencement dans le temps [..], relativement dans l’espace, contenu dans certaines limites. »
II serait, en effet, absurde d’admettre une série à la fois infinie et réalisée. La totalité des êtres ou des phénomènes forme un nombre qui dépasse notre imagination, mais qui est un nombre réel, et l’infini dépasse tous les nombres. Le passé contient un nombre d’êtres et de phénomènes auquel chaque instant ajoute. Il est contradictoire de nommer infini ce qui augmente ou peut augmenter. Le même raisonnement réfute l’éternité du passé : l’éternité est infinie, inaugmentable et chaque instant augmente le passé.
antithèse « Le monde n’a ni commencement ni limites spatiales mais il est infini [..] à l’espace que par rapport au temps. »
Si le monde n’était éternel et sans mesure, il s’envelopperait donc d’un temps et d’un espace vides. Mais un temps vide ne renferme aucune cause, aucune condition, aucune possibilité de commencement, et rien n’aurait jamais pu commencer. Borner le monde dans le temps, c’est l’annihiler. Et un espace vide n’est rien. Dire qu’un espace vide limite le monde, dire que le monde est limité par rien, c’est dire tout ensemble que le monde est limité et qu’il n’est pas limité.

Hegel
Un infini qualitatif

Le projet du système hégélien de la dialectique et de l’infini a pour ambition de dépasser les oppositions philosophiques de l’infinité de la substance objective chez Spinoza et de la finitude de l’entendement humain chez Kant. C’est à partir de la première antinomie cosmologique du fini et de l’infini dans la Critique de la raison pure que Hegel forme sa conception du véritable infini. Pour Kant, tâchons de rappeler que l’absolu n’est jamais donné dans l’intuition, mais il est forgé de toutes pièces par l’esprit en tant que simple concept, comme idée transcendantale. Cette idée de l’infini joue le rôle de pure fiction pour l’homme, fiction utile comme le déclarait Leibniz, alors qu’elle devient une idée-limite, une projection trans-empirique, peut-être nécessaire comme outil de développement de la connaissance, mais n’ayant vraisemblablement aucune réalité ontologique60. Selon Hegel, l’erreur de Kant aura été de ne concevoir qu’un infini quantitatif, puisque le concept d’éternité, comme progrès temporel interminable ne prend forme qu’en concevant une droite interminable ou encore une suite infinie de nombres naturels. Il en va de même pour l’infini spatial qui présuppose nécessairement une grandeur inexhaustible dans laquelle la finitude viendrait s’engouffrer ; encore une fois, l’argument est circulaire60. Les catégories a priori de la sensibilité que sont le temps et l’espace chez Kant constituent la solution transcendantale au problème de la première antinomie, mais elles ne peuvent rendre compte pour Hegel de la dialectique interne de l’esprit seule apte à subsumer les antagonismes qu’il porte en son sein même60. Si l’infini hégélien est dit qualitatif, c’est bien parce qu’il ne se résume pas dans l’énumération ou l’itération de séries de nombres ou dans la somme de ces séries, mais bien parce qu’il réside dans le rapport qu’elles entretiennent ensemble.
Une méthode à la fois analytique et synthétique
Les mathématiques ont pour Hegel, un caractère essentiellement analytique ; non seulement la valeur de vérité des équations mathématiques ne tient pas de l’expérience sensible, mais elle dérive toujours en quelque sorte de sa conformité avec un paradigme au sein duquel sont présupposées des lois et des définitions a priori (au sens kantien). En ce sens, pour Hegel, le procédé analytique représente, contrairement à Kant, « la pure immanence des déterminations à la totalité originelle présente sous la modalité de l’en-soi »61. Autrement dit, ce n’est pas le nombre comme objet qui déploie de son essence les lois et mécanismes qui caractérisent son intériorité pure, mais elles sont insérées de l’extérieur par l’esprit et deviennent de sorte le miroir du fonctionnement de l’esprit humain et de son organisation intérieure. Ultimement, « l’objet, le nombre, n’est que la pensée, et la pensée abstraite de l’extériorité elle-même […] En raison de cette extériorité pure et de cette absence de détermination propre, le penser a dans le nombre une matière déterminable infinie qui n’oppose aucune résistance. »61. La vérité pour Hegel, ou plutôt, le déploiement de la connaissance est toujours à la fois un procédé objectif et subjectif, une méthode à la fois analytique et synthétique. La connaissance mathématique partage donc ce caractère analytique avec la connaissance conceptuelle, toutefois, elle se différencie de cette dernière en n’étant qu’analytique, alors que la connaissance du concept est également un procédé synthétique. Pour Hegel, le véritable infini est dans la relation qualitative qui s’établit dans le rapport entre deux grandeurs quantitatives. Comme Leibniz l’avait remarqué avant lui, ce ne sont pas les quantités infiniment petites ou infiniment grandes qui sont importantes, mais leur différence qui est infinitésimale60. Le passage de la quantité en qualité s’effectue à travers une relation dynamique engendrée par la raison qui résulte en une mesure, une proportion, ce qui pour Hegel signifie l’assimilation mutuelle du déterminant (qualité) et du déterminé (quantité).
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:51

Un rapport dynamique entre fini et infini

La conception de l’infini élaborée chez Hegel n’avait pas de prime abord des prétentions mathématiques ou pratiques, mais essentiellement métaphysiques et c'est bien en ce sens que sa vision de l’infini devenait celle de la dynamique du concept absolu. Ainsi il faut également prendre en considérations que pour Hegel - axiome fondamental de tout son système qu’il emprunte à Spinoza -, toute détermination est du même coup une négation et par conséquent, la négation de la négation reflète l’automouvement du concept absolu. En résulte que la finitude et l’infini ne sont pas liés de manière externe par opposition l’une à l’autre, mais entretiennent plutôt une relation dynamique internalisée, l’infini absorbe en lui la finitude comme un des moments de son perpétuel déploiement. « Pour Hegel, ce devenir processuel est un infini dynamique ou qualitatif, et sa figure est celle du cercle sans point initial et sans point final – et non pas l’image de la droite infinie ou de la suite illimitée des nombres naturels. »60. Selon Hegel, l’histoire de l’être est un devenir perpétuel, « toute forme donnée est poussée à se dépasser, selon la nécessité d’une poussée, d’une pulsion, immanente, constitutive de la nécessité de sa transcendance. »62. Le mécanisme inhérent à ce mouvement universel est la dialectique, « la loi de la pensée et du réel qui, progressant par négations successives, résout les contradictions en accédant à des synthèses elles-mêmes toujours partielles et appelées à être dépassées »63. Une conception particulière est toujours en elle-même un système positif et cohérent et en ce sens, il contient en lui un fragment du concept absolu qu'il représente de manière incomplète. Une idée dépassée ne disparaît jamais totalement, elle est plutôt submergée dans un nouveau système au sein duquel le fragment de son absolutisme est ratifié et incorporé. La négativité qui est au cœur de la dialectique s’effectue toujours dans un rapport dont elle est le principe médiateur. En d’autres mots, c’est le négatif qui effectue le rapport structurel entre une intériorité idéelle et une extériorité manifeste. En ce sens, le négatif s’apparente à l’essence de la chose, la poussée directrice, le moteur ontologique de l’être. Ce travail du négatif, inscrit au cœur même du devenir, anime pour Hegel toute histoire particulière63. Ce mouvement est pour Hegel un infini abstrait, un mécanisme universel à l’œuvre en toutes choses positives.

Finalement, ce qui est fini, par définition toujours en transition, est toujours en devenir, toujours appelé à être transcendé, dépassé vers l’infini. L’absolu contient donc en lui tous les moments de la finitude, l’absolu s’aliène lui-même à partir de lui-même pour finalement s’extérioriser comme esprit. L’infini chez Hegel est donc esprit absolu, idée absolue ou concept absolu, synonymes de la totalité du système de la philosophie. Si l’esprit ou l’idée est dite infinie chez Hegel, c’est que l’infinité est l’être de ce qui est sursumé et n’est que sursumé64.
Cantor
Georg Cantor en 1894

Georg Cantor – mathématicien de formation – constate, au fil de ses travaux, que l’analyse mathématique est insuffisante à saisir complètement l’essence de l’infini65. En fait, il se penche sur la question à travers les ensembles, dont les propriétés n’avaient pas été clairement élucidées avant lui. Celles-ci semblaient triviales pour les ensembles finis, alors que celles des ensembles infinis concernaient plutôt la philosophie. Cantor devient donc le fondateur de la théorie des ensembles, une méthode « plus rapprochée de la philosophie générale »65 et dont le développement constituera un « achèvement aux conséquences majeures dans l’histoire des mathématiques »66. La théorie des ensembles, plus précisément la théorie des nombres transfinis, qui en constitue le noyau65, servira d’assise à une réflexion sur un éventail d’infinis différents. Cantor distinguera donc trois notions différentes d’infini : l’infiniment grand, qu’il analyse et hiérarchise et pour lequel il est reconnu (sections 1 à 4) ; les infinitésimaux, qu’il nie et rejette (section 5) ; enfin, l’infini absolu, sur lequel il fonde sa métaphysique de l’infini67 (section 6).

Ainsi, l’appareil conceptuel déployé par Cantor se fonde sur des distinctions mathématiques complètement nouvelles, qui font de l’infiniment grand un objet à part, néanmoins analysable, mais qui contredit l’intuition68. Cantor croit que l’arithmétisation de l’infini est possible, autrement dit, il pense que l’infiniment grand est une quantité à laquelle doit être attribué un nombre69, nombre sur lequel il convient d’appliquer des opérations ordinaires70. Il en vient à penser ainsi à la suite de ses travaux en arithmétique et en trigonométrie ; il ne présuppose donc pas que l'infini ait différentes valeurs, il le découvre. Comme « des propriétés finies ne peuvent être prédiquées à tous les cas de l’infini »71, il faut trouver les propriétés de l’infini. Subséquemment, ces propriétés seront élaborées dans sa théorie des ensembles des nombres transfinis.
L’infini dans les ensembles

La réflexion de Cantor le mène à fonder les mathématiques sur une théorie des ensembles plutôt que sur l’arithmétique65. Il s’inspire ainsi de la démarche de Bolzano72 et de sa méthode de la correspondance biunivoque, ou bijection. Cantor considère donc les ensembles comme des objets ayant « une existence en soi indépendamment de nos moyens de l’atteindre »73 et seulement définis par leur contenu. Cantor travaillera essentiellement avec les ensembles infinis suivants :

L'ensemble des nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, ...}.
L'ensemble des nombres rationnels Q : les fractions, incluant les éléments de N.
L'ensemble des nombres réels R : Q, ainsi que les nombres avec une infinité de décimales irrégulières comme la racine carrée de 2, π ou e.

Les nombres réels intéresseront particulièrement Cantor puisqu’ils permettent de localiser n’importe quel point sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace.
Dénombrement des ensembles : la cardinalité

Comme un ensemble se définit par ses éléments, il faut trouver une façon de les compter pour pouvoir les comparer. C’est ici qu’intervient la notion de cardinalité : le nombre cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments contenus dans cet ensemble74 ; ceci « faisant abstraction de la nature des éléments de l’ensemble »75. Ainsi, dans l’ensemble {2, ..., 101}, la cardinalité est de 100. Dans le cas des nombres infinis, il faudra trouver une façon de les comptabiliser et de leur attribuer un cardinal. Cela sera possible en les comparant entre eux.

On peut ainsi chercher à comparer la cardinalité d'un ensemble avec celle de son ensemble des parties : il s'agit de l'ensemble des ensembles possibles, à l'intérieur d'un ensemble. Par exemple, si le cardinal de A = {1, 2, 3} est 3, celui de son ensemble des parties est 23 = 8, car on peut former 8 ensembles à partir de A : {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}, ∅.
Comparaison des ensembles : la correspondance biunivoque
Dans les ensembles finis

Pour comparer les ensembles finis, il s’agit de les compter, ce qui n’est rien d’autre que les associer un à un à l’ensemble M des nombres {1, 2, 3, …, n} où n est le nombre d’éléments dans l’ensemble, autrement dit le nombre cardinal. On cherche à établir entre eux une correspondance biunivoque ou bijection, c’est-à-dire une association de tous les éléments d’un ensemble avec ceux d’un autre, « sans répétition ni omission »76 ; si une telle correspondance est possible, on dira que les deux ensembles ont la même « puissance », ils sont équipotents75. En des termes plus précis, associer des éléments de l'ensemble D à ceux de l'ensemble E, sans répétition (pour chaque élément de D, il n'y a qu'un élément de E associé), est une simple injection, alors que les associer, sans oublier d'éléments de D, est une surjection. Une bijection n'est qu'une relation de deux ensembles qui est à la fois injective et surjective.
Dans les ensembles infinis

Une telle correspondance peut s’appliquer aux ensembles infinis. De ce fait, l’ensemble de tous les nombres naturels pairs peut être mis en association avec l’ensemble de tous les naturels par la fonction y = 2x, où x est un élément parmi l’ensemble N de tous les naturels et y un élément parmi l’ensemble N′ de tous les naturels pairs. La cardinalité de N et de N′ est donc la même, aussi contre-intuitif que cela puisse paraître.

Ainsi, à première vue, il semble y avoir davantage de réels que de rationnels, et de rationnels que de naturels77 ; or, Cantor montre que les rationnels Q et les naturels N peuvent être mis en correspondance biunivoque, et donc qu’ils possèdent le même nombre d’éléments. Cela permettra en fait de ranger les nombres rationnels (considérés comme fractions) de la façon suivante : Q+ = {1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 3/2, 2/3, 4/1, 1/4, ...} (les fractions négatives ne sont pas incluses ici pour faciliter la compréhension). On remarquera que, dans la suite, les fractions réductibles, et donc répétitives, ont été retirées (2/4 = 1/2, par exemple). Comme les nombres rationnels sont placés dans un ordre qui les réunira tous sans exception, on peut dire qu’ils sont dénombrables, c’est-à-dire qu’on peut associer un nombre n à chacun d’eux. De manière plus générale, on voit que tout ensemble dénombrable infini a la même cardinalité, et donc le même nombre d’éléments que les naturels.

Les comparaisons entre N et N′ ou entre Q et N reviennent à envisager une partie comme aussi grande que le tout ; ce qui va à l’encontre de ce que les philosophes ont toujours considéré comme une règle fondamentale78. Cette apparente transgression chez Cantor devient finalement la définition d’un ensemble infini : la cardinalité d’un ensemble est infinie si et seulement si une ou plusieurs de ses parties est égale à son toutnote 3.

Or, tous les ensembles infinis n’ont pas la même cardinalité comme le montre l’argument de la diagonale, démonstration de l’impossibilité de dresser une bijection entre N et R, et donc que ℵ 0 < 2 ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}<2^{\aleph _{0}}} {\aleph _{0}}<2^{{\aleph _{0}}}, c'est-à-dire que la cardinalité des réels est strictement supérieure à celle des nombres naturels. En effet, l’ensemble R des réels n’est pas dénombrable, et Cantor nommera sa cardinalité : puissance du continu. L’ensemble des réels est un ensemble continu (par opposition à discret) puisqu’il regroupe tous les points d’une droite, d’un plan ou d’un graphique, sans « trous ».
Les nombres transfinis
Articles détaillés : nombre cardinal et nombre ordinal.
Aleph 0 et son arithmétisation

Les « nombres transfinis » est l’appellation que donne Cantor aux nombres infinis correspondant aux différentes cardinalités des ensembles infinis en raison de la connotation négative liée au concept d’infini, comme s’il s’agissait d’un « incomplet » ou d’un « indéfini ». Les transfinis cantoriens sont de réels objets mathématiques, ils sont « en acte », étant donné que les ensembles, aussi infinis soient-ils, sont bien réels. Par convention, la cardinalité de N (qui est aussi celle de Z et de Q) est nommée Aleph 0, ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}} {\aleph _{0}}, et constitue la plus petite quantité infinie. « Aleph », qui est l'équivalent de la lettre « a » en hébreu, a sans doute été choisi parce que, pour Cantor, les infinis sont justement des entités réelles avec lesquelles on peut développer une nouvelle arithmétique79. Mais comment effectuer des calculs arithmétiques à partir de ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}} {\aleph _{0}} ? Cantor démontre80 que, pour tout entier n {\displaystyle {n}} {\displaystyle {n}}, « ℵ 0 + n = ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}+n=\aleph _{0}}} {\displaystyle {\aleph _{0}+n=\aleph _{0}}} », que « ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}}} {\displaystyle {\aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}}} » et que « ℵ 0 × ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}\times \aleph _{0}=\aleph _{0}}} {\displaystyle {\aleph _{0}\times \aleph _{0}=\aleph _{0}}} » .

Ce dernier résultat est déjà étonnant, car il implique l’assertion que l’ensemble des fractions et celui des entiers ont la même cardinalité. C'est d'ailleurs également le cas de l'ensemble des points d’une droite et de l’ensemble des points d’un plan, qui ont la même cardinalité, qui est cette fois celle du continu. En fait, peu importe le nombre de dimensions de la « zone de travail », le nombre de points qu’elle contient est identique. On a donc c × c = c où c est la cardinalité d’un ensemble transfini. Par conséquent, « les espaces d’un nombre arbitraire de dimensions peuvent être seulement cartographiés sur la ligne unidimensionnelle des réels »81. Dans sa correspondance avec Dedekind, Cantor dira à propos de cette découverte « je le vois, mais je ne le crois pas »82.
Le cardinal de l'ensemble des parties d'Aleph 0

On pourrait croire, d'après les résultats précédents, qu'il n'y aurait qu'une seule cardinalité infinie. Mais Cantor démontre (voir Théorème de Cantor pour une analyse détaillée) qu'il n'y a pas de surjection – et donc pas de bijection – entre un ensemble B et son ensemble des parties (P(B)). Cela est assez évident pour les ensembles finis, par contre, pour les infinis, il faut opérer une reduction ad absurdum et une construction (non effectuée ici). Le résultat auquel arrive Cantor est que, la cardinalité de N < la cardinalité de P(N) < celle de P(P(N))... la cardinalité de N est ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}} {\aleph _{0}}, alors que celle de son ensemble des parties est de 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 2^{\aleph _{0}} etc. Ainsi, ℵ 0 < 2 ℵ 0 < 2 2 ℵ 0 … {\displaystyle \aleph _{0}<2^{\aleph _{0}}<2^{2^{\aleph _{0}}}\ldots } {\displaystyle \aleph _{0}<2^{\aleph _{0}}<2^{2^{\aleph _{0}}}\ldots }

Cependant, Cantor veut faire mieux que de dresser une telle hiérarchie : il veut construire la suite des alephs où chaque nouvel aleph est le successeur immédiat du précédent. Il aura besoin, pour ce faire, des ordinaux.
La suite des alephs grâce aux ordinaux

Cantor devra faire appel à la théorie des ordinaux, c'est-à-dire des ensembles en tant qu'ils sont ordonnés (où, contrairement aux cardinaux, la position des termes est primordiale). L'ordinalité ne peut être appliquée qu'à des ensembles bien ordonnés (qui ont un bon ordre). Cantor réussit ainsi à obtenir, grâce aux ordinaux, un langage plus précis, qui lui permettra d'avoir une arithmétique plus subtile des infinis. Ainsi, l'addition n'est pas commutative avec les ordinaux, par exemple ω + 1 ≠ 1 + ω {\displaystyle \omega +1\neq 1+\omega } \omega +1\neq 1+\omega ( ω {\displaystyle \omega } \omega correspondant à l’ordinalité de N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N} ). L'ordinalité permet également de comparer des ensembles avec plus de précision que par la simple comparaison de cardinalité.

Grâce à la notion d'ordinaux, Cantor réussit à définir les alephs : ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}} {\aleph _{0}} est la cardinalité de l'ensemble – infini – de tous les ordinaux finis, alors que ℵ 1 {\displaystyle {\aleph _{1}}} {\aleph _{1}} est celle de tous les ordinaux dénombrables. Et en poursuivant il lui devient possible de construire la suite (elle-même indexée par les ordinaux) :

ℵ 0 < ℵ 1 < ℵ 2 < ℵ 3 < … < ℵ ω < … {\displaystyle {\aleph _{0}}<{\aleph _{1}}<{\aleph _{2}}<{\aleph _{3}}<\ldots <{\aleph _{\omega }}<\ldots } {\displaystyle {\aleph _{0}}<{\aleph _{1}}<{\aleph _{2}}<{\aleph _{3}}<\ldots <{\aleph _{\omega }}<\ldots }.

L'hypothèse du continu

Le cardinal de l'ensemble des ensembles d'entiers naturels est celui de l'ensemble des réels, et Cantor fait l'hypothèse que ce cardinal est ℵ 1 {\displaystyle {\aleph _{1}}} {\aleph _{1}} : c'est l'hypothèse du continu (le continu est l'ensemble des réels, qui n'a pas de « trous »). Cette dernière équivaut donc à soutenir que ℵ 1 {\displaystyle {\aleph _{1}}} {\aleph _{1}} = 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 2^{\aleph _{0}}, à savoir, que la cardinalité des réels est le successeur de celle de l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire la « quantité infinie » immédiatement supérieure.
Le rejet des infinitésimaux

Malgré sa concession pour l’utilité de l’infiniment petit dans le calcul infinitésimal, Cantor s’oppose à ce que l’infiniment petit soit un véritable infini (en acte), autrement dit, qu’il soit un objet mathématique à part entière, et il le définira plutôt comme un « mode de variabilité »83 ou un infini simplement potentiel. Il dira qu’il s’agit d’un infini « improprement dit »65, dont la grandeur est variable, décroissante à volonté, mais toujours finie comme l’est n’importe quel nombre irrationnel (ce n’est pas parce qu’un nombre en particulier a un nombre infini de décimales sans règle qu’il est lui-même infini). Dans le Mitteilungen, Cantor souhaite montrer formellement la contradiction intrinsèque des infinitésimaux, mais il ne fait que réitérer finalement l’axiome d’Archimède (à partir de a et b où a < b, où a et b sont des nombres réels positifs, et où il existe un c tel que a×c > b)84. Cantor rejettera donc les théories de Du Bois-Reymond et de Thomae Stolz, ainsi que celle de Veronese, car elles échouent toujours à montrer à quel ensemble peuvent référer les infinitésimaux (ou de quels ensembles ils sont obtenus). Si les infinitésimaux étaient des nombres, ils devraient être constitutifs d’un ensemble, et ce dernier serait plus continu que l’ensemble des réels85(lui-même « puissance du continu »).
L’infini absolu : un fondement théologique

Abordée dans le Mitteilungen, la question de l’infini absolu de Dieu est pour Cantor d’une importance capitale86. Même si elle concerne plus directement la théologie spéculative, elle sert tout de même de fondement à la théorie des transfinis87. C’est une sorte de révélation mystique pour Cantor : « il Lui a plu que je parvienne aux révélations les plus étonnantes et les plus inattendues dans la théorie des ensembles »88, écrit-il à propos de ce qu’il considère comme un véritable infini, comme un maximum absolu. Les nombres transfinis sont accessibles à l’homme, mais leur ensemble, c’est-à-dire le système de tous les nombres « Ω »89, est incompréhensible.

Comment concilier la diversité mathématique des infinis (aleph 0, 1, la puissance du continu, etc.) avec l’unicité de l’infinitude absolue de Dieu ? Pour Cantor, c’est ce dernier qui garantit l’existence des transfinis, car a priori, ils devraient normalement découler de la nature infinie de Dieu, et qu’a posteriori, ils permettent une explication d’un plus grand éventail de phénomènes. Malgré tout, il semble que la théorie cantorienne sur les transfinis puisse se passer de l’hypothèse de Dieu88.
Russell
Bertrand Russell (1916).

L’infini devient un problème pour Russell lui-même au cours de ses recherches avec Whitehead sur la réduction logique des mathématiques dans les Principia Mathematica de 1910 à 1913. Il propose peu de temps après une application de la méthode analytico-logique au problème traditionnel de l’infini en philosophie pour en dégager une théorie positive dans La méthode scientifique en philosophie en 1914.
Le projet logiciste

Le projet logiciste consiste à démontrer logiquement les concepts et les propositions mathématiques. En 1889, Peano développe une axiomatique de la théorie des nombres réduisant ainsi les mathématiques à l’arithmétique. Pour que Russell puisse démontrer la réductibilité des mathématiques à la logique pure, tout ce qu’il a à faire, c’est donc de réduire les axiomes de Peano à la logique90. Pour ce faire, il mobilise les outils conceptuels de Cantor en mathématique et de Frege en logique. Toutefois, ce projet s’avère être un échec car Russell n’arrive pas à démontrer logiquement l’existence d’une classe infinie d’objets et se voit dès lors obligé de postuler l'infinité d'objets qui la rend possible.
La définition du nombre

Russell travaille avec la définition frégéenne du nombre avancée dans Les fondements de l’arithmétique : « la classe de toutes les classes semblables à la classe donnée »91. Cette définition du nombre permet à Russell de fournir la démonstration logique de quatre des cinq axiomes de l’arithmétique de Peano. Seul l’axiome qui consiste à postuler que « si deux nombres ont le même successeur, ces deux nombres sont identiques »92 est problématique. Le problème vient entre autres de la définition logique du nombre telle que donnée par Frege.

La définition logique du nombre considère celui-ci comme une propriété d’un terme général ou d’une description générale93. Selon Russell, dans le cas du nombre, il est possible de remplacer la notion de terme général par celle de classe sans que cela ne cause problème sur le plan logique. Ainsi, n’importe quel nombre, en tant que prédicat d’un terme général qui dénote quelque chose qui n’existe pas, a pour cardinalité la classe nulle, car le nombre ne dénote rien94. Par exemple, zéro est un prédicat qui s’applique au terme général « licorne » car aucune licorne n’existe. Étant donné cette caractéristique du nombre, il faut nécessairement qu’il y ait une classe infinie afin qu’il soit possible de démontrer logiquement l'axiome de Peano. Sinon, tout nombre dépassant le dernier nombre qui dénote la quantité de tout ce qui existe a le même cardinal que son successeur, soit la classe nulle. Ces nombres sont donc identiques95. Si n est le nombre de choses qui existent, son successeur n+1 a une cardinalité de 0, de même que n+2. n+1 a donc pour successeur n+2 tout en lui étant identique, ce qui est une contradiction avec l'axiome de Peano. Afin qu’il n‘y ait pas de contradiction et que cet axiome puisse être démontré, il faut nécessairement qu’il y ait une classe infinie95. Russell considère donc trois possibilités de démontrer l’existence d’une classe infinie.
Les démonstrations de la classe infinie

La première des classes infinies est dérivée d’un argument inspiré de Parménide, considérant l’Être95. La deuxième classe infinie est dérivée d’un argument tenant compte du nombre et de son idée96. Ces deux démonstrations sont invalides à cause de leur caractère psychologique et du fait que l’être et l’idée du nombre ne peuvent constituer des prémisses mathématiquement démontrables96. La dernière démonstration, contrairement aux deux autres, est dérivée d’un argument qui relève de la logique. L’argument démontre qu'il est possible de construire une classe infinie à partir de la classe nulle. 0 existe à cause de la classe nulle. 1 est le nombre de la classe dont seule la classe nulle est membre ; 2 est le nombre de la classe constiuée de 1 et 0, et ainsi de suite. En suivant ce principe, la classe spécifique à chaque nombre est construite. Le nombre de 0 à n est n+1 et ce dernier est un nombre fini. À cause de la caractéristique héréditaire des nombres, l’existence est une propriété de tous les nombres entiers finis. Ainsi tous les nombres entiers existent et la cardinalité de la suite des nombres finis est infinie. Toutefois, selon ce raisonnement chaque nombre sera d’un type différent que son successeur. Étant donné que cette preuve ne respecte pas la théorie des types, elle n’est pas valide. En n’arrivant pas à démontrer l’existence d’une classe infinie, Russell est forcé de postuler l’infini à titre d’axiome.
L’axiome de l’infini
Article détaillé : Axiome de l'infini.

Cet axiome suppose l’infinité de l’univers du discours, car seulement ainsi il peut y avoir une classe infinie et une infinité de nombres. Cependant, le fait que cet axiome énonce un prédicat d’existence fait en sorte qu’il ne puisse appartenir à la logique pure97. Malgré le fait qu’il ne peut être démontré logiquement, Russell soutient que seul l’axiome de l’infini peut assurer l’applicabilité de la logique pure au monde empirique. À ce titre, puisque la logique est applicable au monde, l’axiome de l’infini constitue une hypothèse empiriquement vérifiable. Par ailleurs, l’axiome de l’infini semble problématique dans la mesure où il est posé de manière ad hoc dans la démonstration de Russell. Puisque ce dernier a foi en la vérification empirique de l’axiome, il le présuppose dans l’application de sa méthode analytico-logique en philosophie.
Le fondement philosophique de l’infini mathématique

Zénon affirme que l’espace et le temps sont indivisibles en points et en instants dans les contextes fini et infini. Selon Russell, si l’espace et le temps consistent en un nombre fini de points et d’instants, alors les arguments de Zénon contre la thèse que l’espace et le temps sont composés de points et d’instants sont tout à fait valables98. En mathématique, le calcul infinitésimal est l’outil fondamental de l’étude des corps en mouvement dans l’espace en fonction du temps. Or, le calcul infinitésimal présuppose que l’espace et le temps ont une structure en points et en instants. Au sens de Zénon, le calcul infinitésimal est donc logiquement infondé. Or, Russell montre que si l’espace et le temps consistent en un nombre infini de points et d’instants, alors les paradoxes de Zénon n’ébranlent plus les mathématiques à cet égard98. Le présupposé essentiel du calcul infinitésimal conserve ainsi sa légitimité philosophique. Russell souligne cependant que la tradition a longtemps négligé la thèse selon laquelle le monde est composé d’un nombre infini de points et d’instants à cause des contradictions qu’impliquait une notion naïve de l’infini.
La critique de la notion kantienne de l’infini

Pour illustrer les effets d’une conception erronée de l’infini, Russell analyse les deux premières antinomies de la raison pure de Kant sur l’idée régulatrice de monde99.
Le problème de la synthèse successive de l’infini

Kant caractérise une série infinie par le fait qu’on ne peut jamais la synthétiser successivement au complet. Par extension, c’est affirmer que la série des nombres naturels, à savoir la somme des termes de la suite des entiers positifs à partir de zéro, est infinie parce qu’elle ne peut se compléter dans un temps fini par l'homme, qui est fini. Or, Russell soutient que la notion d’infini « est avant tout une propriété de classes, et n’est que secondairement applicable aux séries »100. C'est qu'une série, par définition, tient compte de l’ordre successif des éléments la constituant de sorte qu’il y a toujours au moins un élément qui lui échappe lorsqu’elle est infinie. Au contraire, à la manière d'un concept, une classe renvoie à chacun des éléments la constituant, ce qui permet de capturer l’infini mathématique sans en avoir fait la synthèse. Russell fait ressortir par là l’erreur consistant à comprendre l’infini à partir de notre propre finitude au lieu de le considérer comme le caractère propre du nombre en tant qu’objet logico-mathématique.
Le problème de la constitution de l’espace en points

Kant plaide en faveur de l’impossibilité d’un espace composé de points en raison de l’absurdité qu’implique la division à l’infini. En fait, Kant suppose que pour obtenir un point, il faudrait arriver au bout d’une opération de découpages successifs, à chaque fois en deux, de l’espace qui par définition est sans fin. Or, pour éviter ce problème, Russell conçoit à l’instar de Frege et de Cantor que « tout comme une classe infinie peut intégralement être donnée par le concept qui la définit, […] de même un groupe infini de points peut être donné intégralement comme formant une ligne, une aire ou un volume, quoiqu’ils ne puissent jamais être atteints par des divisions successives »101.
Le rejet des infinitésimaux

Comme le suggère Leibniz, un infinitésimal serait une quantité d’espace ou de temps si petite qu’il n’en existerait pas une inférieure de sorte qu’il serait impossible de la diviser en deux quantités finies. Or, Russell rejette la possibilité en mathématique de manipuler des quantités infinitésimales, à savoir des quantités telles que « toute distance finie quelconque lui soit supérieure »102. Selon Russell, l’erreur d’imagination menant à la croyance des infinitésimaux consiste à penser que, à la fin de l’opération de découpage en deux de l’espace et du temps, les distances et les périodes ne soient plus divisibles en quantités finies. De là, il existerait des quantités infiniment petites manipulables en mathématique. Or, Russell rappelle que la divisibilité infinie ne permet pas de conclure à l’existence d’un dernier terme dans une opération qui par définition est sans fin103.

Russell explicite en ce sens l’erreur logique consistant à interpréter l’énoncé vrai « pour toute distance finienote 4, il y a une distance inférieure » par l’énoncé faux « il y a une distance telle que, quelque distance finie que nous puissions choisir, la distance en question est inférieure »103. Du point de vue de la logique formelle, il s’agit là d’une inversion des quantificateurs universel et existentiel opérant dans la proposition. En effet, la proposition fausse veut faire dire « il existe une distance plus petite que toute distance finie », l’infinitésimal, alors que la proposition vraie veut dire « pour toutes distances, il existe une distance finie plus petite », ce qui implique l’impossibilité de l’infinitésimal. Par la méthode analytico-logique, Russell parvient donc à mettre de l’ordre dans la compréhension des infinitésimaux en vue de rejeter leur nécessité pour opérationnaliser le calcul infinitésimal.
En physique

Au début du XXe siècle, la physique se trouvait dans l'impossibilité d'expliquer divers phénomènes104, dont le fait qu'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est censé rayonner un flux infini (voir catastrophe ultraviolette). Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.

Dans le cadre de la relativité générale, le Big Bang conduit, dans son interprétation naïve, à l'apparition de valeurs infinies (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps, apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque lointaine de l'histoire de l'Univers.

Dans plusieurs branches de la physique, comme la théorie quantique des champs ou la physique statistique, les chercheurs ont pu éliminer les divergences indésirables de la théorie à l'aide de techniques mathématiques de renormalisation. Ces techniques n'ont pu être appliquées pour l'instant à la théorie de la gravitation.
Les notations
Article connexe : Infini (symbole).

On attribue, en l'état des connaissances, la première utilisation du symbole ∞ {\displaystyle \infty } \infin, qui revient fréquemment en analyse, à John Wallis, dans son ouvrage De sectionibus conicis de 1655105, puis peu après dans l'Arithmetica Infinitorum :

« esto enim ∞ nota numeri infiniti106 »

Trois hypothèses existent quant à l'origine de ce choix.

La plus communément admise est qu'il s'agit d'une évolution du chiffre désignant '1000' dans la numération romaine : successivement Ⓧ, puis ↀ (aussi représenté par les symboles CIƆ), avant de devenir M. L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné ∞ {\displaystyle \infty } \infin. Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu[réf. nécessaire]. On notera l’expression française encore utilisée aujourd’hui « des mille et des cents » rappelant cet usage. Le symbole actuel serait donc simplement l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.
Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg Cantor on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.
Enfin, Georges Ifrah, dans son encyclopédie « L'histoire universelle des chiffres », explique que la graphie de l'infini remonte à la civilisation indienne, et plus particulièrement à la mythologie indienne. L'Ananta (terme sanskrit qui signifie infini), le « serpent infini » du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un « huit renversé ».

Notons que l'on peut en obtenir un très bel exemplaire en traçant la Lemniscate de Bernoulli, courbe élégante et simple aux multiples propriétés dont celle d'être parcourue infiniment.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:52

Les satellites galiléens, ou lunes galiléennes, sont les quatre plus grands des satellites naturels de Jupiter : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Ils ont été découverts par Galilée en 1610.

Sommaire

1 Caractéristiques
1.1 Dimensions
1.2 Structure interne
1.3 Orbite
2 Détails
2.1 Io
2.2 Europe
2.3 Ganymède
2.4 Callisto
2.5 Anneaux
3 Observation
4 Historique
4.1 Découverte
4.2 Noms
5 Références
6 Voir aussi
6.1 Articles connexes
6.2 Liens externes

Caractéristiques
Dimensions

Les quatre satellites galiléens sont les plus grands satellites du système jovien : la 5e plus grande lune du système, Amalthée, ne fait que 250 km dans sa plus grande dimension, là où Europe, la plus petite des lunes galiléennes, mesure environ 3 100 km de diamètre. Ce sont donc les seuls satellites de Jupiter qui présentent un aspect sphérique et non irrégulier.

À titre de comparaison, Ganymède, le plus grand de tous les satellites naturels connus, est nettement plus grand que Mercure et mesure près des trois-quarts du diamètre de Mars. Dans tout le système solaire, seuls Titan, Triton et la Lune ont des dimensions comparables aux lunes galiléennes.

Le tableau ci-dessous regroupe les caractéristiques physiques principales des lunes galiléennes, classées par taille décroissante :
Satellite Diamètre moyen1
(km) Masse1
(kg) Masse volumique1
(g/cm³)
Ganymède 5 262,4 ± 3,4 1,48×1023 1,942 ± 0,005
Callisto 4 820,6 ± 3,0 1,08×1023 1,834 ± 0,004
Io 3 643,2 ± 1,0 8,93×1022 3,528 ± 0,006
Europe 3 121,6 ± 1,0 4,8×1022 3,013 ± 0,005
Structure interne

Les données collectées par les sondes Voyager et Galileo, sur la densité des lunes galiléennes et la nature de leur croûte, ont permis d'élaborer des modèles pour l'intérieur de chacune d'elles.

Io, Europe et Ganymède possèderaient une structure différenciée, avec un noyau de roches denses (éventuellement métallique dans le cas de Ganymède). Callisto, en revanche, possèderait un intérieur largement indifférencié constitué principalement de glace d'eau et de roches, avec éventuellement un petit noyau.

Représentation de l'intérieur d'Io

Représentation de l'intérieur d'Europe

Représentation de l'intérieur de Ganymède

Représentation de l'intérieur de Callisto

Orbite
Animation de la résonance de Laplace 4:2:1 entre Ganymède, Europe et Io.

Les lunes galiléennes sont placées sur des orbites faiblement excentriques (moins de 0,009) et peu inclinées par rapport à l'équateur de Jupiter (moins de 0,74°). Io, la plus proche, est située à 421 800 km de Jupiter, soit un peu moins de 6 fois le rayon de la planète. Callisto, la plus éloignée, possède un demi-grand axe égal à 1 882 700 km, soit 26 rayons joviens.

Les orbites d'Io, Europe et Ganymède, les trois lunes les plus internes, présentent un type de résonance orbitale particulier, dite résonance de Laplace : leurs périodes orbitales sont dans un rapport 1:2:4, c'est-à-dire que Europe met deux fois plus de temps qu'Io à parcourir son orbite et Ganymède quatre fois. Leurs phases orbitales sont également liées et empêchent une triple conjonction de se produire.

Callisto, plus éloignée, n'est probablement pas en résonance avec les autres lunes2.

Le tableau ci-dessous récapitule les éléments orbitaux des lunes galiléennes :
Lune Demi-grand axe3
(km) Période orbitale3
(d) Excentricité3 Inclinaison3
(°)
Io 421 800 1,77 0,004 0,02 à 0,04
Europa 671 100 3,55 0,009 0,42 à 0,51
Ganymède 1 070 400 7,16 0,002 0,06 à 0,30
Callisto 1 882 700 16,69 0,007 0,15 à 0,74
Détails
Io
Io, photographiée par la sonde Galileo.
Article détaillé : Io (lune).

Des quatre lunes galiléennes, Io est la plus proche de Jupiter et la deuxième plus petite. Io, la 4e plus grande lune du système solaire mais celle qui possède la plus grande masse volumique, en est également le corps le plus actif géologiquement et celui qui possède les plus grandes éruptions volcaniques.

La surface d'Io semble très récente et est presque totalement dépourvue de cratères. Elle possède de nombreux volcans (la sonde Voyager 1 en détecta neuf pendant son survol de Jupiter) et une mince atmosphère composée principalement de dioxyde de soufre. Elle pourrait également posséder son propre champ magnétique.

L'énergie nécessaire à cette activité géologique proviendrait des forces de marée d'Europe, Ganymède et Jupiter. Io possède une rotation synchrone, présentant toujours la même face à Jupiter ; cependant, les trois lunes galiléennes internes étant en résonance orbitale, la présence d'Europe et de Ganymède la fait vaciller légèrement. Cette interaction déforme la surface de Io qui se soulève et s'abaisse jusqu'à 100 mètres et les frottements produisent de la chaleur.
Europe
Europe, photographié par la sonde Galileo.
Article détaillé : Europe (lune).

Europe est la seconde lune galiléenne par la distance avec Jupiter, et la plus petite des quatre. Elle possèderait une croûte de glace surmontant une couche d'eau liquide atteignant 100 km de profondeur, elle-même entourant le manteau du satellite. Europe est l'objet le plus lisse du système solaire ; sa surface récente est striée de crevasses, mais de peu de cratères.

De façon similaire à Io, les forces de marée provoqueraient un échauffement d'Europe et assurerait la persistance de son océan interne et de son activité géologique.

Europe possède une atmosphère d'oxygène ténue.
Ganymède
Ganymède, photographié par la sonde Galileo.
Article détaillé : Ganymède (lune).

Ganymède, la troisième lune galiléenne par la distance avec Jupiter, est le plus grand satellite du système solaire, et le plus massif. Elle serait composée de silicates et de glace d'eau, avec une croûte de glace flottant sur un manteau de glace plus chaud. Elle possèderait également un noyau métallique. Ganymède possède un champ magnétique, la seule lune du système solaire où une telle caractéristique a été déterminée avec certitude.

La surface de Ganymède est un mélange de deux types de terrains : des régions sombres très cratérisées et d'autres plus jeunes — mais toujours anciennes — présentant des crevasses et des falaises. Ganymède possède beaucoup de cratères, mais la plupart sont effacés, ou tout juste visibles sous la croûte glacée du satellite.

Ganymède est entourée d'une petite atmosphère d'oxygène.
Callisto
Callisto, photographié par la sonde Galileo.
Article détaillé : Callisto (lune).

Callisto est la plus lointaine des lunes galiléennes et la deuxième par la taille. Elle est également la moins dense de toutes.

Callisto possède une caractéristique surfacique majeure, un bassin de 3 000 km de large nommé Valhalla, qui date probablement de la formation de la croûte du satellite. La surface de la lune repose sur une couche de glace de 150 km de profondeur, et une couche d'eau, épaisse de 10 km.

Callisto possède une petite atmosphère de dioxyde de carbone.
Anneaux

Trois des quatre satellites galiléens, à savoir Europe, Ganymède et Io, possèdent des anneaux à l'instar de Jupiter.
Observation
Les lunes galiléennes vues avec un télescope amateur.

Les quatre lunes galiléennes seraient suffisamment brillantes pour pouvoir être perçues à l'œil nu si elles étaient plus éloignées de Jupiter. Lorsque Jupiter est en opposition, leur magnitude apparente est comprise entre 4,6 et 5,6, une unité de magnitude de moins lorsque Jupiter est en conjonction.

La principale difficulté pour les observer tient au fait qu'elles sont situées très près de Jupiter et donc noyées dans sa luminosité. Leur séparation angulaire maximale de Jupiter est comprise entre 2 et 10 minutes d'arc, proche de la limite de la vision humaine.

En revanche les lunes sont visibles avec des jumelles de faible grossissement.
Lune Magnitude apparente
à l'opposition1 Albédo1 Séparation maximale
à l'opposition3
Io 5,02 ± 0,03 0,63 ± 0,02 2' 27"
Europa 5,29 ± 0,02 0,67 ± 0,03 3' 54"
Ganymède 4,61 ± 0,03 0,43 ± 0,02 6' 13"
Callisto 5,65 ± 0,10 0,17 ± 0,02 10' 56"
Historique
Découverte
Galilée, brouillon d'une lettre à Leonardo Donato, Doge de Venise. La partie inférieure de la feuille montre l'utilisation que fit Galilée de sa lunette : alors qu'il regardait le ciel en janvier 1610, il nota ses premières observations de Jupiter et de trois de ses lunes.

L'astronome italien Galilée découvrit les lunes, qui devaient porter par la suite son nom, en janvier 1610, à l'aide d'une lunette astronomique4. Le 7 janvier 1610, il écrivit une lettre portant la première mention de ces objets. À ce moment, il n'en avait observé que trois et pensait qu'il s'agissait d'étoiles fixes près de Jupiter. Sur des observations ultérieures, entre le 8 janvier et le 2 mars, il découvrit un 4e objet et se rendit compte que les corps n'étaient pas fixes, mais tournaient autour de Jupiter4. Ce furent les premiers objets célestes découverts au moyen d'un instrument optique autre que l'œil nu.
Galilée, le découvreur des quatre lunes galiléennes.

La découverte de Galilée prouva l'importance de la lunette en tant qu'instrument astronomique. Qui plus est, la découverte d'objets célestes orbitant autour d'un autre astre que la Terre se révéla un coup important porté au modèle géocentrique, selon lequel la Terre était situé au centre de l'Univers, à la fois en termes de position et d'importance. Si l'ouvrage de Galilée, Sidereus Nuncius (« le Messager stellaire »), dans lequel il publia ses découvertes réalisées avec sa lunette, ne fait pas mention du modèle héliocentrique développé par Nicolas Copernic par peur de l'Église, Galilée en était un fervent partisan4.

Galilée développa également une méthode permettant de déterminer la longitude sur la base d'éphémérides des lunes galiléennes.

L'antériorité de leur découverte fut contestée en 1614, soit quatre ans après, par l'astronome allemand Simon Marius dans un ouvrage intitulé Mundus Iovialis anno M.DC.IX Detectus Ope Perspicilli Belgici (Le monde jovien découvert en 1609 grâce au télescope belge)5, dans lequel il prétendait avoir observé les quatre satellites de Jupiter dès novembre 16096 où il prétendait les avoir lui aussi observées à la même date, et même avant ; il les nomma d'ailleurs Io, Europe, Ganymède et Callisto. Cependant, Marius n'ayant pas publié ses observations avant 1614, il n'est pas crédité de cette découverte. Par ailleurs, la plus ancienne observation de Jupiter consignée par Marius date de décembre 1610 et les exemples qu'il donne dans son ouvrage datent de 1613.

Selon l'historien de l'astronomie chinois Xi Zezong, l'astronome chinois Gan De aurait observé l'une des lunes galiléennes en -362, près de deux millénaires avant Galilée7. Les lunes galiléennes peuvent en effet être distinguées à l'œil nu, lors de leur séparation maximale et dans des conditions d'observation exceptionnelles.
Noms

Les quatre corps célestes furent d'abord nommés par Galilée « Cosmica Sidera », en l'honneur de Cosimo II de Medicis (1590-1621), grand-duc de Toscane à partir de 1609, et dont Galilée cherchait le patronage. Galilée les appellera les Medicea Sidera (« étoiles Médicées »), en l'honneur des quatre frères de la maison Médicis (Cosimo, Francesco, Carlo et Lorenzo). La découverte fut annoncée dans le Sidereus Nuncius (« Messager stellaire »), publié à Venise en mars 1610, moins de deux mois après les premières observations4.

Parmi les autres noms proposés, on retrouve Principharus, Victipharus, Cosmipharus et Ferdinandipharus, en l'honneur des quatre frères Médicis, noms que Hodierna, disciple de Galilée et auteur des premières éphémérides (Medicaeorum Ephemerides, 1656), utilisera. Hévélius les appelle Circulatores Jovis ou Jovis Comites, et Ozanam Gardes ou Satellites (du latin satelles, satellitis : « escorte »). De son côté Peiresc leur donne les noms suivants : Cosme le Jeune, Cosme l'Ancien, Marie et Catherine pour, respectivement, J-I, J-II, J-III et J-IV.

Ce seront les noms proposés par Simon Marius qui s'imposeront : Io, Europe, Ganymède et Callisto, publiés dans le Mundus Jovialis de l'auteur en 16145. Les quatre lunes portent les noms de maîtresses ou d'amant du dieu Jupiter.

Galilée refusa d'utiliser les noms proposés par Marius et inventa par conséquent le système de numérotation qui est encore utilisé de nos jours, en parallèle avec les noms propres. La numérotation commence par la lune la plus proche de Jupiter : I pour Io, II pour Europe, III pour Ganymède et IV pour Callisto. Galilée utilisait ce système dans ses cahiers de notes, mais il n'eut pas l'occasion de l'utiliser dans une version imprimée.
Références

↑ a, b, c, d et e « Planetary Satellite Physical Parameters » [archive], Jet Propulsion Laboratory (consulté le 4 décembre 2007)
↑ (en) Musotto, Susanna; Varadi, Ferenc; Moore, William; Schubert, Gerald, « Numerical Simulations of the Orbits of the Galilean Satellites », Icarus, vol. 159, no 2,‎ octobre 2002, p. 500–504 (DOI 10.1006/icar.2002.6939, résumé [archive])
↑ a, b, c, d et e « Guide for the satellites of Jupiter » [archive], Natural Satellites Data Center (consulté le 29 novembre 2007)
↑ a, b, c et d (la) Galileo Galilei, Sidereus Nuncius, 13 mars 1610
↑ a et b (la) Simon Marius, Mundus Iovialis anno M.DC.IX Detectus Ope Perspicilli Belgici, 1614
↑ « Simon Marius » [archive], The Galileo Project (consulté le 21 novembre 2007)
↑ (en) Xi, Z. Z., « The Discovery of Jupiter's Satellite Made by Gan De 2000 years Before Galileo », Acta Astrophysica Sinica, vol. 1:2,‎ 1981, p. 87 (résumé [archive])

Voir aussi
Articles connexes

Jupiter
Satellites naturels de Jupiter

Liens externes

(fr) « Observation des lunes de Jupiter, Mars 1613 (animation des observations de Galilée) », Parcours étranges,‎ 22 avril 2007 (consulté le 4 décembre 2007)

[masquer]
v · m
Groupes de satellites naturels de Jupiter
Groupe d'Himalia • Groupe d'Ananké • Groupe de Carmé • Groupe de Pasiphaé
Carpo • Satellites internes • Lunes galiléennes • Thémisto • S/2003 J 2 • S/2003 J 12
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:52

Une exoenzyme, ou enzyme extracellulaire, est une enzyme qui est secrétée par une cellule et qui fonctionne en dehors de celle-ci, dans le milieu extracellulaire. Ces enzymes se retrouvent impliquées dans la dégradation de macromolécules qui ne pourraient entrer dans la cellule autrement.

Ce terme fait aussi souvent référence aux enzymes hydrolytiques digestives secrétées par les champignons.

Exemple d'exoenzymes :

Amylase
ECA : synthèse d'angiotensine-II
Lipoprotéine lipase : relargage de lipides à partir de lipoprotéines circulantes
Enzymes digestives : dégradation des nutriments ingérés
Quelques facteurs de coagulation : e.g. thrombine
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:53

Les anneaux de Jupiter (ou système d'anneaux jovien) sont un ensemble d'anneaux planétaires autour de la planète Jupiter. C'est le troisième système d'anneaux à être découvert dans le système solaire, après ceux de Saturne et ceux d'Uranus. Le système d'anneaux de Jupiter a été observé pour la première fois en 1979 par la sonde spatiale Voyager 11 et dans le cadre d'une enquête approfondie dans les années 1990 par la sonde spatiale Galileo2. Il a également été observé par le télescope spatial Hubble au cours des 25 dernières années3. Les observations au sol de l'anneau exigent les plus grands télescopes disponibles4.


Sommaire

1 Caractéristiques
2 Liste
3 Notes et références
4 Voir aussi
4.1 Articles connexes
4.2 Liens externes

Caractéristiques

Le système d'anneaux de Jupiter est faible et se compose principalement de poussière1,5. Il est composé de trois éléments principaux. Le premier est une épaisse couche intérieure torique de particules, connu sous le nom d'anneau halo. Le second est un anneau relativement brillant, très mince et appelé « anneau principal ». Le dernier est très large, épais, et est nommé « anneau gossamer ». Ce dernier est souvent divisé en plusieurs parties : l'anneau interne (ou anneau d'Amalthée), l'anneau externe (ou anneau de Thébé) et l'extension de Thébé6.

L'anneau halo et l'anneau principal sont composés de poussières venant des lunes Métis, Adrastée et d'autres corps résultant d'impacts violents2. Les images à haute résolution obtenus de février à mars 2007 par la sonde New Horizons ont révélé une fine structure à l'intérieur de l'anneau principal7.

En lumière visible, les anneaux ont une couleur rougeâtre, à l'exception de l'anneau halo, qui tend vers le bleu3. La taille des poussières varie, mais la plupart sont des particules microsphériques d'un rayon d'environ 15 µm, excepté dans l'anneau halo8. Celui-ci est en fait probablement constitué majoritairement de poussières d'échelle légèrement inférieure au micromètre. La masse totale du système d'anneaux est mal connue, mais elle est probablement située entre 1011 à 1016 kg9. L'âge du système n'est pas connu, mais il se peut que celui-ci existe depuis la formation de Jupiter9.

Les anneaux de Jupiter sont extrêmement sombres (leur albédo n'est que de 0,05) et ne furent détectés que lors du passage de la sonde spatiale Voyager 1 en 1979.

Les anneaux joviens sont peu lumineux et composés de particules de poussière arrachées à certaines de ses lunes. L'anneau principal est situé entre les satellites Adrastée et Métis. Un grand anneau moins dense s'étend au-delà et est composé de poussière provenant d'Amalthée et Thébé. Un troisième anneau plus interne présente une forme de tore.

Il existe enfin un quatrième anneau plus externe, tournant en sens rétrograde autour de Jupiter et dont l'origine n'est pas connue, peut-être de la poussière interplanétaire capturée10.
Liste

Voici la liste des anneaux connus de Jupiter, classés par rayon interne croissant.
Nom Désignation
temporaire Rayon interne
(km) Rayon interne
(JRN 1) Rayon externe
(km) Rayon externe
(JRN 1) Largeur
(km)
Halo 1979 J1R 100 000 1,4 122 000 1,7 22 000
Principal 1979 J2R 122 000 1,7 129 000 1,8 7 000
GossamerN 2 1979 J3R 129 200 1,8 224 900 3,1 95 700

↑ a et b Rayon de Jupiter : 71 492 km.
↑ Littéralement « gaze » en anglais. Divisé en trois par l'orbite d'Amalthée à 181 350 km et de Thébé à 221 900 km.

Source : NASA et Planetary Rings Node
Notes et références

↑ a et b (en) B. A. Smith, L. A. Soderblom, T. V. Johnson et al., « The Jupiter System through the Eyes of Voyager 1 », Science, vol. 204,‎ 1979, p. 951–957, 960–972 (PMID 17800430, DOI 10.1126/science.204.4396.951, lire en ligne [archive]).
↑ a et b (en) M. E. Ockert-Bell, J. A. Burns, I. J. Daubar et al., « The Structure of Jupiter’s Ring System as Revealed by the Galileo Imaging Experiment », Icarus, vol. 138,‎ 1999, p. 188–213 (DOI 10.1006/icar.1998.6072, lire en ligne [archive]).
↑ a et b (en) R. Meier, B. A. Smith, T. C. Owen et al., « Near Infrared Photometry of the Jovian Ring and Adrastea », Icarus, vol. 141,‎ 1999, p. 253–262 (DOI 10.1006/icar.1999.6172, lire en ligne [archive]).
↑ (en) I. de Pater, M. R. Showalter, J. A. Burns et al., « Keck Infrared Observations of Jupiter’s Ring System near Earth’s 1997 Ring Plane Crossing », Icarus, vol. 138,‎ 1999, p. 214–223 (DOI 10.1006/icar.1998.6068, lire en ligne [archive] [PDF]).
↑ (en) M. A. Showalter, J. A. Burns, J. N. Cuzzi et J. B. Pollack, « Jupiter's Ring System: New Results on Structure and Particle Properties », Icarus, vol. 69, no 3,‎ 1987, p. 458–498 (DOI 10.1016/0019-1035(87)90018-2, lire en ligne [archive]).
↑ (en) L. W. Esposito, « Planetary rings », Reports On Progress In Physics, vol. 65,‎ 2002, p. 1741–1783 (DOI 10.1088/0034-4885/65/12/201, lire en ligne [archive]).
↑ (en) F. Morring, « Ring Leader », Aviation Week&Space Technology,‎ 7 mai 2007, p. 80–83.
↑ (en) H. B. Throop, C. C. Porco, R. A. West et al., « The Jovian Rings: New Results Derived from Cassini, Galileo, Voyager, and Earth-based Observations », Icarus, vol. 172,‎ 2004, p. 59–77 (DOI 10.1016/j.icarus.2003.12.020, lire en ligne [archive] [PDF]).
↑ a et b (en) J.A. Burns, D. P. Simonelli, M.R. Showalter et al., « Jupiter’s Ring-Moon System », dans F. Bagenal, T.E. Dowling, W.B. McKinnon, Jupiter: The Planet, Satellites and Magnetosphere, Cambridge University Press, 2004 (lire en ligne [archive] [PDF]).
↑ (en)[PDF]A. F. Cheng, H. A. Weaver, Lillian Nguyen, D. P. Hamilton,S. A. Stern, H. B. Throop, « A New Ring or Ring Arc of Jupiter ? » [archive], Lunar and Planetary Institute,‎ 2010 (consulté le 13 octobre 2012)

Voir aussi
Articles connexes

Jupiter (planète)
Anneau planétaire
Anneaux de Saturne
Anneaux d'Uranus
Anneaux de Neptune

Liens externes

(en) Jovian Rings Fact Sheet (NASA)
(en) Jupiter's Ring System (Planetary Rings Node)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:53

Notes et références
Notes

↑ La phusis se présente comme la constitution interne des choses et se dévoile donc comme un principe (archè). Il faut ici préciser que le terme archè était ambigu dans la langue courante des anciens car il pouvait aussi bien signifier « gouvernement » que « commencement ». Il faut en comprendre que dans l’identification de la nature comme un principe, les phusikoi entendaient rechercher non seulement l’origine du monde mais aussi ce qui continue de le gérer. L’archè est donc un point de départ et ce qui détermine le développement de la chose à laquelle il se rattache.
↑ Aristote lui-même n’étaye pas vraiment ce point, il semble qu’il s’agisse simplement d’un constat découlant des propriétés énoncées antérieurement.
↑ Cette définition, due à Richard Dedekind, ne coïncide avec la définition courante que sous l'hypothèse de l'axiome du choix - voir l'article Ensemble infini.
↑ En fait, ici, par « distance finie » on entend un réel strictement positif.

Références

↑ Alexandre Koyré, Études d'histoire de la pensée scientifique, avant-propos
↑ (fr) Dictionnaire Héritage du Sanscrit de Gérard Huet (en ligne [archive]).
↑ Zero, One, two, Three...Infinity [archive]

Aristote, Physique, Livre III, Paris, Les Belles Lettres, 2002, p. 84-108
Jean-Pierre Bernard, L'univers d'Héraclite, Belin, coll. « L'Extrême Contemporain », 1998 (ISBN 978-2-70112055-3), p. 77-109
Catherine Collobert, L'être de Parménide ou le refus du temps, Paris, Kimé (ISBN 978-2-90821271-6), p. 155-193
Jabel Jeannière, Les Présocratiques, Paris, Seuil, 1996, p. 63-160
Robert Lahaye, La philosophie ionienne, Paris, Éditions du Cèdre, 1966, p. 47-67
Gérard Legrand, La pensée des présocratiques, Paris, Bordas, coll. « Pour connaître » (no 34), 1970, p. 25-129
Monique Anto-Sperber (dir.), Philosophie grecque, Vendôme, PUF, 1998, p. 3-84
↑ Jean-Paul Dumont, Les Écoles présocratiques, « Folio-Essais », Gallimard, Paris, 1991, B XXXIV, p.316
↑ (en) H.D.P. Lee, Zeno of Elea, CUP, 1936
↑ (en) J.A. Faris, The Paradoxes of Zeno, Aldershot, Ashgate Plublishing Limited, 1996
↑ H. Corbin, Histoire de la philosophie islamique, Paris, Gallimard, 1986, coll. « folio essais », p. 365
↑ Goodman 1992, p. 63
↑ Avicenne 1978-1985, p. 282
↑ a, b et c Adamson et Taylor 2004, p. 299
↑ Avicenne 1978-1985, p. 343
↑ Avicenne, Psychologie, d’après son œuvre Aš-Šifāۥ II, trad. J. Bakoš, Prague, Éditions de l’Académie tchécoslovaque des sciences, 1956, p. 28
↑ Adamson et Taylor 2004, p. 297
↑ Goodman 1992, p. 66
↑ Adamson et Taylor 2004, p. 298
↑ Avicenne 1978-1985, p. 265
↑ Avicenne 1978-1985, p. 290
↑ Adamson et Taylor 2004, p. 301
↑ Aristote, Physique, VI, 1, 231 a 24-25, tel que rapporté dans Sondag 2005, p. 114
↑ (en) Richard Cross, « The Physics of Duns Scotus », dans The Scientific Context of a Theological Vision, Clarendon Press, Oxford, 1998, p. 122-123
↑ Jean-Louis Gardies, Pascal entre Eudoxe et Cantor, « Problèmes et controverses », Vrin, Paris, 1984, p. 44
↑ Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 111
↑ a et b Édition vaticane (1950) VII, 86, dans Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 112
↑ Jean-Louis Gardies, « Les antécédents scolastiques de la théorie des ensembles », Revue de métaphysique et de morale, vol. 91, numéro 4, octobre-décembre 1986, p.499
↑ Sondag 2005, p. 118
↑ Aristote, Physique, III, 6, 206 b 32-207 a 15[207 a 7-8], dans Sondag 2005, p. 119
↑ Quodlibet V (Olms, p. 118) dans Sondag 2005, p. 120
↑ Quolibet V (Olms, p.118) dans Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 107
↑ Aristote, Métaphysique, livre V, c.13, 1020a dans Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 114
↑ Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 115
↑ Reprint de Wadding, Hildesheim, 1968, XII, p. 118 dans Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, p. 119
↑ Williams 2003 et Olivier Boulnois, « Introduction », Sur la connaissance de Dieu et l'univocité de l'étant, Paris, PUF, 1988
↑ (en) Peter King, « Scotus on Metaphysics », dans Adamson et Taylor 2004, p. 15-68
↑ Williams 2003 et (en) William E. Mann, « Duns Scotus on Natural and Supernatural Knowledge of God », dans Adamson et Taylor 2004, p. 249-252
↑ " [L]'infini est le concept à la fois le plus parfait et le plus simple qu'il soit possible d'avoir : il est en effet plus simple que le concept d'être bon ou d'être vrai ou de tout autre concept similaire ; parce que l'infinité n'est pas un attribut ou une passion de l'être, ou bien de ce dont elle est le prédicat, mais elle exprime le mode d'être intrinsèque de cette entité ; de telle sorte que quand je dis « être infini » ; je n'ai pas un concept dérivé comme par accident de l'être ou de la passion, mais un concept par soi-même pertinent d'un sujet existant avec un certain degré de perfection" Ordinatio, I, 2, p. 1, q. 2 ; III, 40, 58 cité dans A. Ghisalberti, « Jean Duns Scot et la théologie rationnelle d'Aristote », dans Revues des sciences philosophiques et théologiques, tome 83, numéro 1 (janvier 1999), p. 6
↑ (en) John F. Ross et Todd Bates, « Natural and Supernatural Knowledge of God », dans Adamson et Taylor 2004, p. 249-250
↑ (it) Galileo Galilei, Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8, p.78-80
↑ a et b N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions] pp. E.IV 57-58
↑ ARBIB Dan, « Descartes et l'infini : le concept en question », Laval théologique et philosophique, no 69,‎ 2013
↑ a et b Adam et Tannery 1897-1913, p. 36
↑ Adam et Tannery 1897-1913, p. 89
↑ Adam et Tannery 1897-1913, p. 33
↑ a, b et c Adam et Tannery 1897-1913, p. 41
↑ a et b Adam et Tannery 1897-1913, p. 37
↑ (en) Mary-Ann Crumplin, « Descartes: God as the Idea of Infinity », dans International Journal of Systematic Theology, vol. 10, n° 1, 2008, p. 3-20
↑ a et b Jean-Baptiste Jeangene Vilmer, « La véritable nature de l'indéfini cartésien », dans Revue de métaphysique et de morale, n° 4, 2008, p. 503-515 et « Le paradoxe de l'infini cartésien », dans Archives de philosophie (Paris), vol. 72, n° 3, 2009, p. 497-521
↑ Jean-Baptiste Jeangene Vilmer, « La prudence de Descartes face à la question de l'infini en mathématiques », dans Philosophiques, vol. 34, n° 2, 2007, p. 295-316 et « Descartes et les bornes de l'univers : l'indéfini physique », dans Philosophiques, vol. 37, n° 2, 2010, p. 299-323
↑ a et b Jean-Baptiste Jeangene Vilmer, « Descartes : l'infinitude de ma volonté ou comment Dieu m'a fait à son image », dans Revue des sciences philosophiques et théologiques, vol. 92, n° 2, 2008, p. 287-312

Henri Gouhier, La pensée métaphysique de Descartes, Paris, Vrin, 1987, p.195-214
Jean-Luc Marion, « Le paradigme cartésien de la métaphysique », dans Laval théologique et philosophique, vol. 3, 1997, p. 785-791
Thérèse Nadeau-Lacour, « Lévinas, lecteur de Descartes ou l'idée d'infini comme événement éthique », dans Laval théologique et philosophique, vol. 58, n° 1, 2002, p. 155-164
(en) Jill LeBlanc, « A difficulty in Descartes's Notion of the Infinite in the third meditation », dans International Philosophical Quarterly, vol. 38, n° 3, 1998, p. 275-283
(en) Adam Drozdek, « Descartes: mathematics and sacredness of infinity », dans Laval théologique et philosophique, vol. 52, n° 1, 1996, p.167-178
↑ Jacqueline Guichard, L’infini au carrefour de la philosophie et des mathématiques, Ellipses, 2000 (ISBN 978-2-72987987-7), p. 109 et Burbage et Chouchan 1993, p. 33
↑ Burbage et Chouchan 1993, p. 21-32
↑ Dominique Berlioz et Frédéric Nef, L’actualité de Leibniz : Les deux labyrinthes, Stuttgart, F. Steiner, 1999, p. 581-583 [lire en ligne [archive]]
↑ André Robinet, Architectonique disjonctive, automates systémiques et idéalité transcendantale dans la pensée de Leibniz, Vrin, 1986, p. 184
↑ Jean Seidengart, Dieu, l'univers et la sphère infinie : penser l'infinité cosmique à l'aube de la science classique, Albin Michel, 2006, p. 496-498
↑ Belaval 1962, p. 206 et 222-225 et Koyré 1962, p. 303
↑ Burbage et Chouchan 1993, p. 89-95 et Koyré 1962, p. 289
↑ Belaval 1962, p. 206 et 212-221 et Burbage et Chouchan 1993, p. 58-67
↑ Critique de la raison pure/Partie 2/Division 2/Livre 2/Chapitre 2
↑ a, b, c, d et e Yvon Gauthier, Hegel, Introduction à une lecture critique, PUF, 2010, p. 42-48
↑ a et b Hegel, Science de la Logique, chap. 2, remarque 2
↑ Jean-Pierre Cléro et Alain Niderst, Le Végétal, Publications de l'université de Rouen, 1938, chapitre sur Hegel
↑ a et b Dictionnaire de Philosophie, p. 94
↑ Denis Souche-Dagues, Recherches hégéliennes, Infini et Dialectique, 1994, p. 59
↑ a, b, c, d et e Hilbert, Sur l’Infini, Göttingen, traduit par André Weil, Paris, 1972, p. 91
↑ Belna 2000, p. 15
↑ Belna 2000, p. 153-188
↑ Lachièze-Rey 1999, p. 54
↑ Lachièze-Rey 1999, p. 122
↑ Dauben 1979, p. 6
↑ Belna 2000, p. 13
↑ Cavaillès 1962, p. 66
↑ Cavaillès 1962, p. 67
↑ Lachièze-Rey 1999, p. 53
↑ a et b André Delessert, Gödel : une révolution en mathématique, France, PPUR, 2000, p. 122
↑ Belna 2000, p. 227
↑ Cavaillès 1962, p. 73
↑ Lachièze-Rey 1999, p. 55 : Rey parle précisément de Galilée, cependant cet argument remonte à Aristote.
↑ Belna 2000, p. 126
↑ Belna 2000, p. 124
↑ Dauben 1979, p. 47
↑ En français dans le texte allemand. Cavaillès 1962, Correspondances Cantor-Dedekind : p. 211.
↑ Belna 2000, p. 157
↑ Belna 2000, p. 160
↑ Belna 2000, p. 166
↑ (en) Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », Erkenntnis, vol. 42, no 3,‎ mai 1995, p. 375-402 (DOI 10.1007/BF01129011), §3.2
↑ Belna 2000, p. 181-182
↑ a et b Belna 2000, p. 183
↑ Cavaillès 1962, p. 220
↑ Vernant 1993, p. 399
↑ Russell 1971, p. 209
↑ Vernant 1993, p. 400
↑ Russell 1971, p. 207
↑ Russell 1971, p. 206
↑ a, b et c Vernant 1993, p. 406
↑ a et b Vernant 1993, p. 407
↑ Vernant 1993, p. 421
↑ a et b Russell 1971, p. 179
↑ Russell 1971, p. 164-168.
↑ Russell 1971, p. 165
↑ Russell 1971, p. 168
↑ Russell 1971, p. 146-149
↑ a et b Russell 1971, p. 147
↑ Voir (en) C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44.
↑ Voir le scan de la page [archive]
↑ (en) Earliest uses of symbols of calculus [archive]

Bibliographie

Charles Adam et Paul Tannery, Œuvres de Descartes, Paris, Léopold Cerf, 1897-1913, chap. AT IX
(en) Peter Adamson et Richard C. Taylor, The Cambridge Companion to Arabic Philosophy, CUP, 2004
Avicenne, La Métaphysique du Shifā, Paris, Vrin, 1978-1985 (lire en ligne)
traduction française du texte arabe de l’édition du Caire, introduction, notes et commentaires par G. C. Anawati
Yvon Belaval, Leibniz : initiation à sa philosophie, Vrin, 1962
Jean-Pierre Belna, Cantor, Paris, Les Belles Lettres, 2000 (ISBN 978-2-25176024-7)
Frank Burbage et Nathalie Chouchan, Leibniz et l’infini, Paris, PUF, 1993
Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, Paris, Hermann, 1962
(en) Joseph Warren Dauben, Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of Infinite, Princeton, Princeton University Press, 1979 (lire en ligne)
(en) L.E. Goodman, Avicenna, Routledge, 1992
Alexandre Koyré, Du monde clos à l’univers infini, Paris, Gallimard, 1962
Marc Lachièze-Rey, L'infini - de la philosophie à l'astrophysique, Paris, Hatier, 1999
Bertrand Russell, La Méthode scientifique en philosophie, Payot, 1971
Gérard Sondag, « Jean Duns Scot sur l’infini extensif et l’infini intensif », Revue thomiste, vol. 105, no 1,‎ 2005
Gérard Sondag, Duns Scot : la métaphysique de la singularité, Paris, Vrin, coll. « Bibliothèque des philosophies », 2005 (lire en ligne)
Denis Vernant, La philosophie mathématique de Russell, Vrin, 1993 (lire en ligne)
(en) Thomas Williams, « John Duns Scotus », dans Stanford Encyclopedia of Philosophy, 23 décembre 2003

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

infini, sur le Wiktionnaire Infini, sur Wikiquote

Articles connexes

Axiome de l'infini
Hôtel de Hilbert
L'Infini Page d'aide sur l'homonymie (œuvre et revue littéraire)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:54

L'hôtel de Hilbert, ou hôtel infini de Hilbert, illustre la propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématique, qui est que, contrairement à ce qui se passe pour les ensembles finis, une partie stricte peut avoir autant d'éléments que le tout.

Sommaire

1 Description
2 Attribution à David Hilbert
3 Notes et références
4 Voir aussi

Description

Supposons qu'un hôtel (fictif) possède un nombre infini de chambres toutes occupées. Malgré cela, l'hôtelier peut toujours accueillir un nouveau client.

En effet supposons que les chambres soient numérotées par tous les nombres entiers (à partir de 1). Il suffit que l'hôtelier demande à l'occupant de la première chambre de s'installer dans la seconde, à celui de la seconde de s'installer dans la troisième, et ainsi de suite. Les clients déjà logés le restent. La première chambre est libre et peut accueillir le nouveau client.

Mais l'hôtelier peut aussi accueillir une infinité de nouveaux clients. Pour ce faire il faut que le client occupant la chambre no 1 prenne la chambre no 2, l'occupant de la no 2 la no 4, celui de la no 3 la no 6, et ainsi de suite. Chacun occupe une chambre de numéro double de celui de sa chambre précédente, de telle sorte que toutes les chambres de numéro impair deviennent libres. Et puisqu'il existe une infinité de nombres impairs, l'infinité de nouveaux clients pourra occuper les chambres correspondantes.

Implicitement, tous les ensembles infinis dont il est question ont été supposés numérotés par les nombres entiers, c'est-à-dire qu'ils sont dénombrables. La première version illustre le fait que la fonction qui à un entier n associe son successeur n +1 établit une bijection de l'ensemble des entiers naturels (comptés à partir de 1), dans le sous-ensemble des entiers naturels (comptés à partir de 2), la seconde, d'une part que la fonction qui à un entier n associe son double 2n établit une bijection du même ensemble dans celui des entiers pairs (comptés à partir de 2), d'autre part que la fonction qui à n associe 2n-1 établit une bijection de ce même ensemble dans celui des entiers impairs (comptés à partir de 1).

La définition mathématique de la cardinalité (le nombre d'éléments dans le cas des ensembles finis) utilise les bijections : deux ensembles en bijection sont dits équipotents (ou parfois équivalents), ce qui capture l'idée intuitive d'avoir « autant d'éléments ». Le cardinal d'un ensemble, son nombre d'éléments dans le cas fini, est un représentant unique d'une classe d'ensembles tous équipotents entre eux. L'hôtel de Hilbert illustre que deux ensembles infinis tels que l'un est strictement inclus dans l'autre peuvent être équipotents, c'est-à-dire avoir même cardinal, ce qui est manifestement faux pour les ensembles finis (c'est essentiellement le principe des tiroirs de Dirichlet). C'est la raison pour laquelle cette propriété peut paraître paradoxale. Mais l'arithmétique des nombres cardinaux infinis est très différente de l'arithmétique ordinaire.

Tous les ensembles infinis en jeu ont le même cardinal, qui est celui du dénombrable, mais, comme l'a montré Georg Cantor, il existe des ensembles infinis qui ne sont pas dénombrables, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas même cardinal que les précédents.
Article détaillé : théorème de Cantor.
Attribution à David Hilbert

Dans son livre One Two Three . . . Infinity (un, deux, trois, ... l'infini) paru en 1947, le physicien George Gamow raconte que, selon Richard Courant1, David Hilbert utilisait cet exemple pour illustrer ses conférences sur l'infini2.
Notes et références

↑ Ainsi que l'écrit Gamow « From the unpublished, and even never written, but widely circulating volume: "The Complete Collection of Hilbert Stories" by R. Courant ». Richard Courant avait été étudiant et proche collaborateur de David Hilbert à Göttingen, avant son départ en 1933 pour les États-Unis.
↑ One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science, George Gamow, The Viking Press - New York, 2nd edition 1961, p 17.

Voir aussi

Principe des tiroirs
La Bibliothèque de Babel
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:54

La Bibliothèque de Babel est une nouvelle de l'écrivain Jorge Luis Borges publiée en 1941, puis en 1944 dans son célèbre recueil Fictions. Cette nouvelle est inspirée d'une nouvelle de l'écrivain, philosophe et mathématicien allemand Kurd Lasswitz intitulée La bibliothèque universelle et publiée pour la première fois en 1904.

Sommaire

1 Thème de la nouvelle
2 Postérité de la nouvelle
3 Références
4 Annexes
4.1 Articles connexes
4.2 Liens externes

Thème de la nouvelle

La nouvelle décrit une bibliothèque de taille gigantesque contenant tous les livres de 410 pages possibles (chaque page formée de 40 lignes d'environ 80 caractères) et dont toutes les salles hexagonales sont disposées d'une façon identique. Les livres sont placés sur des étagères comprenant toutes le même nombre d'étages et recevant toutes le même nombre de livres. Chaque livre a le même nombre de pages et de signes. L'alphabet utilisé comprend vingt-cinq caractères (vingt-deux lettres minuscules, l'espace, la virgule et le point).

Cette bibliothèque contient tous les ouvrages déjà écrits ainsi et tous ceux à venir parmi un nombre immense de livres sans aucun contenu lisible (puisque chaque livre peut n'être constitué que d'une succession de caractères ne formant rien de précis dans aucune langue).

Cette nouvelle, une métaphore de la littérature, est profondément influencée par la kabbale.[réf. nécessaire]

Selon Borges, la bibliothèque de Babel est immense mais non infinie car le nombre de combinaisons possibles est lui-même fini. Borges ajoute que la bibliothèque est peut-être infinie car cyclique mais cela ne change pas le postulat de base. Cependant il existe des séries infinies: la liste des nombres pairs, par exemple, ou des nombres impairs, ou la liste des carrés des nombres entiers, etc.. Donc, pour rendre compte de séries infinies, la bibliothèque de Babel ne peut être elle-même qu'infinie avec, par exemple un livre en un nombre infini de tomes de 410 pages qui tendra à comprendre la série infinie de tous les nombres. C'est un des paradoxes de cette bibliothèque.

A noter l'étrange configuration physique de cette bibliothèque dont l'unité est une cellule hexagonale dont 4 côtés portent des étagères et des livres et les deux autres sont ouverts pour avoir accès à d'autres cellules au même niveau ou aux cellules des étages supérieurs et inférieurs par les escaliers intermédiaires.Il eut été plus simple d'imaginer des cellules octogonales avec 4 côtés à étagères et 4 côtés avec des portes, ce qui permettrait à la bibliothèque de s'étendre aisément en 3 dimensions.
Postérité de la nouvelle

Le thème de la « Bibliothèque de Babel » a été réactualisé par le développement de l'informatique qui permet de composer toutes les suites possibles avec un nombre donné de caractères, dans la limite de l'explosion combinatoire.

Daniel Dennett imagine dans son ouvrage de 1995 Darwin's Dangerous Idea le « Toshiba de Babel » : 4 Mo de RAM remplis de toutes les façons possibles et imaginables, parmi lesquelles forcément un certain nombre de noyaux d'OS parfaitement en ordre de marche. Dont tous les noyaux Linux passés, présents et à venir, tant qu'ils font moins de 4 Mo, ainsi que ceux de tous les Windows sous la même condition1.

David Deutsch, reprenant et généralisant une idée d'Hugh Everett, estime que l'univers que nous connaissons pourrait représenter précisément l'un des volumes d'une sorte de bibliothèque de Babel.[réf. nécessaire]

Il est possible de calculer le nombre de livres distincts présents dans la bibliothèque (voir l'article Combinatoire) : chaque livre comporte 410 pages, chaque page comporte 40 lignes et chaque ligne comporte 80 caractères, il existe 25 caractères différents. Donc le nombre de livres distincts est 25 ( 410 × 40 × 80 ) ≈ 1,956 × 10 1834097 {\displaystyle 25^{(410\times 40\times 80)}\approx 1{,}956\times 10^{1834097}} 25^{{(410\times 40\times 80)}}\approx 1{,}956\times 10^{{1834097}}. On peut remarquer que ce nombre est plus grand que le nombre d'atomes dans l'univers observable.

Il comporte 1 834 098 chiffres, ce qui montre que le matériel informatique n'est pas en mesure de créer effectivement cette bibliothèque, bien que des nombres en précision arbitraire soient supportés par plusieurs langages, comme Perl. En revanche, rien de plus simple que d'en générer des pages au fur et à mesure de la demande du lecteur, ce qui ne comporte pas de différence fonctionnelle2.

Il faudrait soit dit en passant plus d'un livre (environ 1,4 en l'occurrence) de la Bibliothèque de Babel pour écrire ce nombre3.

Indépendamment de cette question, cette bibliothèque existerait-elle que la création des œuvres ne serait toujours pas faite. Comme le fait remarquer Paul Valéry (Variété V) :

« Dire qu'une chose est remarquable, c'est introduire un homme, une personne (…) qui fournit tout le remarquable de l'affaire. Que m'importe si je n'ai pas de billet que tel ou tel numéro sorte de l'urne ? Je ne suis pas « sensibilisé » à cet événement. Il n'y a point de hasard pour moi dans le tirage (…). Ôtez donc l'homme et son attente, tout arrive indistinctement, mais le hasard ne fait rien au monde - que de se faire remarquer… »

Voir à ce sujet le paradoxe du singe savant.

Ce conte, ainsi que la figure de Borges, ont inspiré à Umberto Eco la bibliothèque du monastère censée détenir l'ultime copie du tome 2 de la Poétique d'Aristote, ainsi que les traits du supérieur bénédictin dans Le Nom de la rose4.

La bibliothèque pourrait être entièrement contenue dans un seul livre doté d'un nombre quasi infini de pages presque infiniment minces. Borges a lui-même prolongé cette idée dans sa nouvelle Le Livre de sable.

Dans un petit essai5 sur « la Bibliothèque de Babel », W.V.O. Quine a remarqué que cette bibliothèque, bien qu'immense, n'est pas infinie et qu'il y a théoriquement un moment où tous les ouvrages possibles auront été écrits.

L'allusion à l'existence de zones ordonnées dans un espace dénué d'information peut aussi être vu comme un écho de la question philosophique "Pourquoi y a-t-il quelque chose plutôt que rien ?" et de la réponse que lui suggère Brian Greene : "Parce que ce quelque chose est l'une des formes possibles du rien".[réf. nécessaire]

Borges a dirigé une collection de recueils du même nom : La Bibliothèque de Babel.
Références

↑ « Dennett uses this concept again later in the book to imagine all possible algorithms that can be included in his Toshiba computer, which he calls the Library of Toshiba. He describes the Library of Mendel and the Library of Toshiba as subsets within the Library of Babel. », article anglophone homologue de celui-ci
http://www.slate.fr/story/100779/bibliotheque-infinie-sur-internet [archive]
↑ (en) Bloch, William Goldbloom. The Unimaginable Mathematics of Borges' Library of Babel. Oxford University Press: Oxford, 2008.
↑ Umberto Eco, Apostille au Nom de la Rose.
↑ "Universal Library" [archive] de W.V.O Quine

Annexes
Articles connexes

Nombre univers
Paradoxe du singe savant.
Principe anthropique.

Liens externes

La bibliothèque de Babel numérisée, ouvrages consultables en ligne.
Un autre version de la bibliothèque de Babel numérisée, Bibliothèque à "visiter" en ligne où l'on peux également chercher une suite de caractère précis (une phrase)
La Bibliothèque de Babel en Français et en Anglais, expérimentation oulipienne.
Collectif de Babel, groupe de réflexion interdisciplinaire autour de la nouvelle de Borges.
Traduction française de la nouvelle de Kurd Lasswitz qui a inspiré Borges.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:55

Principe des tiroirs

En mathématiques, le principe des tiroirs de Dirichlet, affirme que si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette. Une autre formulation serait que m tiroirs ne peuvent contenir strictement plus de m chaussettes avec une seule chaussette par tiroir ; ajouter une autre chaussette obligera à réutiliser l'un des tiroirs.

Mathématiquement, le principe des tiroirs peut s'énoncer ainsi :

Si E et F sont deux ensembles finis tels que card(E) > card(F) et si f : E → F est une application de E dans F, alors il existe un élément de F qui admet au moins deux antécédents par f ; autrement dit il n'existe pas d'application injective de E dans F.

Sommaire

1 Appellation
2 Applications
2.1 Approximation d'un réel
3 Généralisations
4 Références
5 Voir aussi
5.1 Articles connexes
5.2 Bibliographie

Appellation

La première version du principe fut énoncée par Dirichlet en 1834 sous le nom de Schubfachprinzip (« principe du tiroir »). Dans certains pays comme la Russie, ce principe s'appelle le principe de Dirichlet (à ne pas confondre avec le principe du maximum pour les fonctions harmoniques portant le même nom). Ce principe est aussi appelé principe des tiroirs de Dirichlet-Schläfli.

En anglais, ce principe est appelé pigeonhole principle. Il fait référence à la répartition des pigeons dans les cases (ou « boulins ») d'un pigeonnier.
Applications

Bien que le principe des tiroirs semble être une observation triviale, il peut être employé pour démontrer des résultats inattendus.

Par exemple, il est certain qu'au moins deux personnes à Dallas au Texas ont exactement le même nombre de cheveux sur leur tête. Démonstration : une tête normale a environ 150 000 cheveux et il est raisonnable de supposer que personne n'a plus de 1 000 000 cheveux sur la tête. Or Dallas compte plus de 1 000 000 habitants. Si nous associons à chaque nombre de cheveux sur une tête un tiroir, et si nous plaçons chaque habitant de Dallas dans le tiroir correspondant à son nombre de cheveux sur la tête, alors d'après le principe des tiroirs, il y a nécessairement au moins deux personnes ayant exactement le même nombre de cheveux sur la tête à Dallas.

Une application plus mathématique du principe est le fait qu'une application f d'un ensemble fini A vers lui-même est injective si et seulement si elle est surjective (ce qui est bien sûr faux quand A est infini) :

si l'on supposait, pour f injective, qu'un élément a de A était absent de l'image de f, cela permettrait de ranger chaque élément (chaussette) x de A dans l'élément (tiroir) f(x) de A privé de a, sans jamais mettre deux chaussettes dans le même tiroir (à cause de l'injectivité) ; comme l'ensemble des tiroirs est strictement plus petit que l'ensemble fini des chaussettes, cela contredirait le principe des tiroirs ;
réciproquement, si f est surjective, on définit une application g : A → A en choisissant pour chaque élément y un antécédent de y par f, c'est-à-dire un élément g(y) tel que f(g(y)) = y. De l'équation f∘g = idA on déduit que g est injective, donc aussi surjective (d'après la partie déjà démontrée) et par conséquent bijective, puis, que f est sa bijection réciproque donc est injective.

Approximation d'un réel

Soient un réel x et un entier n > 0. Pour tout réel y, on note {y} sa partie fractionnaire (c'est-à-dire la différence entre y et sa partie entière). Les n + 1 éléments 0, {x}, … , {n x} de [0, 1[ (non nécessairement distincts) se répartissent dans les n « tiroirs » [r/n, (r + 1)/n[, où r = 0, … , n – 1. Il existe donc un entier r et deux entiers 0 ≤ k < l ≤ n tels que :
r n ≤ { k x } , { l x } < r + 1 n . {\displaystyle {\frac {r}{n}}\leq \{kx\},\{lx\}<{\frac {r+1}{n}}.} {\displaystyle {\frac {r}{n}}\leq \{kx\},\{lx\}<{\frac {r+1}{n}}.}

et donc :
| { k x } − { l x } | < 1 n {\displaystyle |\{kx\}-\{lx\}|<{\frac {1}{n}}} {\displaystyle |\{kx\}-\{lx\}|<{\frac {1}{n}}}.

En notant p la différence des parties entières de kx et lx, on en déduit :
| ( l − k ) x − p | < 1 n {\displaystyle |(l-k)x-p|<{\frac {1}{n}}} {\displaystyle |(l-k)x-p|<{\frac {1}{n}}},

ou encore, en introduisant l'entier q = l – k ≥ 1 :
| x − p q | < 1 n q ≤ 1 q 2 {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{nq}}\leq {\frac {1}{q^{2}}}} {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{nq}}\leq {\frac {1}{q^{2}}}}1,2.

On démontre de même le théorème d'approximation de Dirichlet, un résultat plus général d'approximation simultanée de d réels. Pour d = 1, on en déduit que la mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2.
Généralisations

Une version généralisée de ce principe déclare que, si n objets discrets occupent m récipients, alors au moins un récipient doit contenir au moins ⌈ n m ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil } {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil } objets où ⌈ ⌉ {\displaystyle \lceil \ \rceil } {\displaystyle \lceil \ \rceil } est la fonction partie entière par excès, qui associe à un réel x le plus petit entier supérieur ou égal à x ; ce nombre peut s'écrire avec la fonction partie entière : ⌈ n m ⌉ = − E ( − n m ) {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =-E\left(-{\frac {n}{m}}\right)} {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =-E\left(-{\frac {n}{m}}\right)}.

Le principe des tiroirs est un exemple d'argument de dénombrement. Ce principe peut être appliqué à de nombreux problèmes sérieux, y compris ceux qui impliquent des ensembles infinis qui ne peuvent pas être mis en correspondance univoque. En approximation diophantienne, l'application quantitative du principe montre l'existence de solutions entières d'un système d'équations linéaires, résultat qui porte le nom de lemme de Siegel.
Références

↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 200-201.
↑ En affinant ce raisonnement, (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne [archive]), p. 2, trouve deux entiers q (encore compris entre 1 et n) et p, vérifiant même : | x − p q | ≤ 1 ( n + 1 ) q {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{(n+1)q}}} {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{(n+1)q}}}.

Voir aussi
Articles connexes

Lemme des bergers
Nombre cardinal
Théorie de Ramsey

Bibliographie

(en) Benoît Rittaud et Albrecht Heeffer, « The pigeonhole principle, two centuries before Dirichlet », The Mathematical Intelligencer, vol. 36, no 2,‎ 2014, p. 27-29 (DOI 10.1007/s00283-013-9389-1), preprint (2013)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:56

Processus de Paix des secouristes de la république de l'Olivier.

Je crois qu'à l'avenir, plus personne ne pourra recréer des bulles d'exclusions...
Pour cela, je ne peux me permettre de mettre à l'écart tout individu(e) et "État".

Je ne suis qu'une femme ou un homme humble qui en vous adressant ces ces vers,
espère qu'il puisse vous conduire vers l'expérience, le travail et la communauté...
La solitude augmente ou diminue le nervosité... Cela s'appelle le malheur...

Alors par décision, on recherche à se tranquilliser et remettre la balance sur le zéro;
alors par construction, on décèle la notion d'une fragile tolérance:
Celle d'insulter !

Par Yahvé, cela est une horreur et une erreur...

La République de l'Olivier dit :
"Oui à la gréve, Non à l'Esclavage..."
la constitution rajoute :
"Oui à la Bibliothèque et Non à la Faim."
et le peuple doit rajouter :
"Oui à l'écoute et Non aux viols physiques et moraux."

Alors le Novice du Secourisme prends en charge sa nouvelle fonction autre qu'un service
militaire mais basé aussi sur la protection du Bien et du Corps.

"Je suis Y'becca"

Ecrit de
TAY
La chouette effraie.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Y'becca ou murmure de l'Arbre-Olivier.
http://leclandesmouettes.bbflash.net/t41-y-becca-ou-murmure-de-l-arbre-olivier

Profils des Juges du Secourisme et
la république de l'Olivier.

Chére Minouska, Féline de Pierre et Yvette et toutes les bonnes volonté(e)s

Je regarde le temps différemment après la mort de Athéna la chatte Bleue.
De longues années à voyager; à travailler et à écrire... Tel un Spartiate, je me suis emprunt à une apogée sur la compréhension du monde qui m'entourai de ses richesses; J' y ai rencontré des lueurs, des affronts et des forces.

Je regarde celle qui a su réveiller la force de réveiller ces écrits que j'ai voulu sauvegarder par le fait que après
tout, aide toi et le ciel te répondra: Et je dois dire que ma volonté fut exaucer... Alors je regarde Minouska, une chatte qui a recueilli mon cœur en lambeau lors de la guerre ou intifada, si vous préférez:

Le Juge Suprême de la république de l'Olivier est un personnage
qui doit s'informer et accueillir la Parole de l'un et de l'Autre. Il se doit d'écrire des vers, des proverbes, des espoirs, des fables car notre peuple aime cela: Ni fouet, ni chaines ! être sérieux devant les nuages gris !
Car l'arbre peur garantir notre fraternité et la justice de l'eau propager la diversités des écritures des forets donc vers la connaissance et Yahvé... La République est le pilier de l’Âme dans le sens où il s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première du Juge Suprême de la République de l'olivier.

Dans la vallée du Nil à la plaine des cèdres; le juge suprême doit présenter ses hontes et ses espoirs... je vous fait part de mon expérience... Nuls réponses dans un premiers temps ne se fit entendre alors j'envoyai des mouettes, des chouettes et des canaris sous forme de lettre tel un oiseau qui apprends son premier envol.

Alors sous forme de mirage pour certains et pour d'autres, cela s'appelle un message. Je me fis ce constat et que la volonté en soit ainsi si il ne veulent pas entendre;

"Propage la Connaissance des serments car ce sont les hommes qui s'entretuent par leur entreprise, leur volonté et leur désir! Car certains vomissent sur la fraternité voilà un maillon de haine du trois en un délivré par le vieux coq... Rétablit l'apprentissage de l'Espérance sur l'apprentissage de marcher ! La canne de l'age n'est pas un spectre; elle est une source d'eau ! Tu apprendra à entendre ta douleur devant la faim ! Nous sommes des étapes et en cela cherche le fait d'exister ! La République est le pilier de l’Âme dans le sens où elle s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première !

Ecrit de
TAY
La chouette Effraie.

_________________
Kounak le chat....
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:56

Théorème d'approximation de Dirichlet

Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat suivant1 d'approximation diophantienne simultanée de d réels x 1 , … , x d {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}} {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}} :

Pour tout entier N ≥ 1, il existe des entiers q , p 1 , … , p d {\displaystyle q,p_{1},\dots ,p_{d}} {\displaystyle q,p_{1},\dots ,p_{d}} tels que
1 ≤ q ≤ N et | q x j − p j | < N − 1 / d ( ∀ j = 1 , 2 , … , d ) {\displaystyle 1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad |qx_{j}-p_{j}|<N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)} {\displaystyle 1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad |qx_{j}-p_{j}|<N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)},

dont le cas particulier N = Qd avec Q entier se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet2,3, ou le résultat plus général suivant4,5 :

Pour tout réel N > 1, il existe des entiers q , p 1 , … , p d {\displaystyle q,p_{1},\dots ,p_{d}} {\displaystyle q,p_{1},\dots ,p_{d}} tels que
1 ≤ q < N et | q x j − p j | ≤ N − 1 / d ( ∀ j = 1 , 2 , … , d ) {\displaystyle 1\leq q<N\quad {\text{et}}\quad |qx_{j}-p_{j}|\leq N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)} {\displaystyle 1\leq q<N\quad {\text{et}}\quad |qx_{j}-p_{j}|\leq N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)},

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt (de).
Utilisations

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Pour d = 1, un corollaire élémentaire est que pour tout irrationnel x, il existe une infinité de rationnels p/q tels que |x – p/q| < 1/q2 (alors que pour un rationnel x, il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions p/q).
[afficher]
Preuve du corollaire

Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire7.
Références

↑ (en) « Dirichlet theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne [archive]). Une généralisation est démontrée dans (en) J. W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, 1965 (lire en ligne [archive]), p. 13.
↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 216-217, th. 200.
↑ Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, 1951 (lire en ligne [archive]), chap. VIII : pour tous réels a1, a2, … , ad, tout entier Q > 0 et tout réel t0 > 0, il existe un réel t tel que t0 ≤ t ≤ t0Qd et des entiers p1, … , pd tels que | t a j − p j | ≤ 1 / Q ( j = 1 , 2 , … , d ) {\displaystyle |ta_{j}-p_{j}|\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)} {\displaystyle |ta_{j}-p_{j}|\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)}.
↑ Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt (de), Diophantine Approximation, Springer, 1980 (lire en ligne [archive]), p. 28-32 [archive].
↑ (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, no 2,‎ 1977, p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne [archive]), ne l'énonce que pour N entier.
↑ Une variante consiste à définir par récurrence, dans cet ensemble, un suite infinie d'éléments distincts : cf. (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne [archive]), p. 6-7 ou (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne [archive]), p. 2.
↑ (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture » [archive], sur terrytao.wordpress.com,‎ 13 mai 2015.

Articles connexes

Démonstration du théorème de Dirichlet à partir de celui de Minkowski
Théorèmes de Dirichlet Page d'aide sur l'homonymie
Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)
Théorème du sous-espace (en)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:57

Une macromolécule (ou molécule polymère1) est une très grande molécule, qui possède une masse moléculaire relativement élevée2. La notion de macromolécule a été introduite en 1922 par le chimiste allemand Hermann Staudinger. Une macromolécule formée d'unités chimiques similaires assemblées par des liaisons covalentes peut être décrite comme une molécule polymère, un ensemble de telles molécules est un polymère. De nombreuses protéines peuvent également être considérées comme des macromolécules.

Les macromolécules organiques peuvent résulter de processus biologiques (polymères naturels) ou bien être préparées à l'aide de réactions chimiques (polymères synthétiques).

Sommaire

1 Macromolécules naturelles
1.1 Structure
1.2 Propriétés
2 Macromolécules artificielles
2.1 Macromolécules organiques obtenues par modification
2.2 Macromolécules organiques purement synthétiques
3 Macromolécules minérales
4 Voir aussi
5 Notes et références

Macromolécules naturelles

Les macromolécules naturelles sont organiques ou d'origine minérale. On peut citer les polysaccharides (cellulose, amidon...), les protéines (laine, soie...), les acides nucléiques, le caoutchouc naturel, etc.

L'importance des polymères naturels est considérable. La nature produit des dizaines de milliards de tonnes de cellulose chaque année.
Structure

La structure des macromolécules naturelles possède une complexité souvent due à la présence d'un motif qui se répète. Par exemple une protéine est un enchaînement d'acides aminés puisés parmi une vingtaine différents. De son côté, l'ADN est une répétition de bases prises parmi quatre nucléotides. Ces variétés sont à la base de la variété des protéines dans un cas, et de la possibilité de codage dans l'autre. Les polysaccharides comme la cellulose sont constitués de chaînes où se reproduit un même motif (le glucose). La variété, dans ces macromolécules, vient du caractère aléatoire des branchements que la chaîne présente. Le caoutchouc naturel est un des seuls polymères d'origine naturelle à posséder une structure où un motif s'enchaîne avec régularité. Les polymères naturels minéraux sont de nature fort différente. Par exemple, les nanotubes de carbone peuvent être considérés comme des macromolécules puisque les atomes de carbone qui les constituent sont reliés par des liaisons carbone - carbone covalentes. À ce titre, ils ne se différencient pas des macromolécules organiques dont il a été question précédemment.
Propriétés

Les propriétés des macromolécules naturelles sont liés aux catégories (protéine, ADN...) auxquelles elles appartiennent. Par exemple, les protéines assurent trois fonctions : structurantes (fibre musculaire), spécifique (transport de l'oxygène), ou catalyse (enzyme).
Macromolécules artificielles

Elles sont soit obtenues par modification chimique de macromolécules naturelles, par exemple dans le but d'améliorer certaines propriétés, soit par synthèse à partir de monomère issus de la pétrochimie.
Macromolécules organiques obtenues par modification

On peut mentionner dans cette famille les esters cellulosiques tels l'acétate de cellulose ou la nitrocellulose.
Dimensionnalité : macromolécules monodimensionnelles (cas des polymères thermoplastiques, schéma de gauche) et macromolécule tridimensionnelle (cas des polymères thermodurcissables, à droite)

Leur variété est particulièrement importante.
Macromolécules organiques purement synthétiques

Dans le cas de macromolécules d'origine synthétique, les arrangements moléculaires résultent de la polymérisation de molécules monomères.
Une macromolécule (chaîne polymère) résulte généralement de l'assemblage par des liaisons covalentes d'un grand nombre de motifs de répétition semblables (cas des homopolymères) ou différents (copolymères).

Les macromolécules d'origine synthétique sont généralement basées sur l'enchaînement covalent d'un grand nombre d'atomes de carbone qui forment le squelette macromoléculaire. On connaît toutefois des polymères synthétiques comportant des hétéroatomes caténaires tels l'oxygène (par exemple dans les polyéthers et les polyesters) ou l'azote (cas des polyamides, polyuréthanes...).
Il existe par ailleurs des macromolécules dont le squelette ne contient aucun atome de carbone, telles les silicones qui sont constitués d'enchaînements covalents d'atomes de silicium et d'oxygène (-Si-O-).
Macromolécules minérales

Les nanotubes de carbone sont aussi des macromolécules, ainsi que le graphite qui est constitué de grands feuillets d'atomes de carbone (macromolécules bidimensionnelles C2D3).

Nanotube de carbone

Structure du graphite

Dans le cas du diamant, la structure polymère, qui s'étend dans les trois directions de l'espace (macromolécule tridimensionnelle C3D3), a les mêmes dimensions que celles du cristal4.

Il existe d'autres structures polymères minérales, notamment dans la famille des silicates5 (voir l'article). On peut citer la macromolécule tridimensionnelle de silice cristalline, dans laquelle les quatre oxygène O d'un tétraèdre SiO4 sont mis en commun avec d'autres tétraèdres SiO4, ce qui conduit à un motif de répétition de formule SiO25,3,6.

Tétraèdre SiO4

Silice cristallisée (SiO2)n (atomes Si en gris et O en rouge)

Voir aussi

Biomolécule (molécule naturelle organique, issue des règnes végétal ou animal)
Polymère
Polymère inorganique
Matière plastique

Notes et références

↑ « polymère » est ici un adjectif.
↑ Définition IUPAC [archive]
↑ a, b et c Maurice Bernard, Cours de chimie minérale, 2e éd., Éditions Dunod, 1994 (ISBN 2 10 002067 6), p. 244-245, 262-263.
↑ Jean-Pierre Mercier, Gérald Zambelli, Wilfried Kurz, Traité des matériaux, vol. 1, 3e éd., Introduction à la science des matériaux, Presses polytechniques et universitaires romandes (1999), p. 93, 94 (ISBN 2880744024) - Présentation en ligne [archive] - Lire en ligne [archive].
↑ a et b Jacques Angenault, La Chimie – dictionnaire encyclopédique, 2e édition, Éditions Dunod, 1995 (ISBN 2100024973), p. 318, 510-516.
↑ Raymond Quelet, Précis de chimie, Tome 1 - Chimie générale, 9e éd., Presses universitaires de France, 1966, p. 188.

[masquer]
v · m
Polymères et dérivés
Généralités

Codes Familles Classification Grade Dégradation Monomère Comonomère Pré-polymère Oligomère Macromolécule Motif de répétition Groupe terminal Chaîne latérale Latex Caoutchouc synthétique Élastomère
Thermoplastique Silicone Plastomère Thermoplastique Thermodurcissable Polymère ionique
Ionomère Polyélectrolyte Polymère inorganique

Caractéristiques

Grandeurs caractéristiques Viscosité d'une solution polymère Homo- ou Copolymère Polymère ramifié
Polymère en étoile Polymère hyperbranché Dendrimère Taux de cristallinité Tacticité Débit calorifique Indice limite d'oxygène

Étude

Fractionnement Techniques d'analyse Morphologie Transitions de phase Propriétés mécaniques Rhéologie Polymère en solution Plasticité et endommagement Ignifugation Principe d'équivalence temps-température

Synthèse

Polymérisation en chaîne
Radicalaire Ionique
Anionique Cationique Coordinative Vivante
ATRP RAFT Télomérisation Polymérisation par étapes Polymérisation par ouverture de cycle
Polymérisation par ouverture de cycle par métathèse Modification chimique Polymère linéaire au réseau 3D Vulcanisation Procédé de polymérisation

Industrie et applications

Producteurs Plasturgie Matière plastique Big six Plastique renforcé de fibres Additifs Fibre Matériau composite Nanocomposite de polymère Biopolymère Bioplastique Adhésif Colle polyester Peinture Lubrifiant Polymère conducteur Polymère à cristaux liquides Polymère hydrosoluble

Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:57

Le spectre visible ou spectre optique est la partie du spectre électromagnétique visible pour l'humain, c'est-à-dire l'ensemble des composantes monochromatiques de la lumière visible.

On ne peut pas définir de façon absolue les limites en longueur d'onde des rayonnements perceptibles ; la sensibilité de l'œil diminue progressivement, et varie selon les individus. La Commission internationale de l'éclairage définit la vision de l’observateur de référence entre une longueur d'onde dans le vide de 380 nanomètres (nm), perçue comme un violet, et celle de 780 nm, correspondant à un rouge1.

Le spectre visible occupe la majeure partie de la fenêtre optique, une gamme des longueurs d'onde qui sont facilement transmises par l'atmosphère terrestre. Cette région du spectre électromagnétique recoupe celle où l'éclairement énergétique solaire est maximal à la surface de la Terre2. Des longueurs d'ondes plus courtes que 380 nm endommageraient la structure des molécules organiques tandis que l'eau, constituant abondant du vivant, absorbe celles plus longues que 720 nm3.

Sommaire

1 Utilisation historique du terme
2 Spectroscopie
3 Couleurs du spectre
3.1 Longueurs d'onde approximatives des couleurs spectrales
4 Voir aussi
4.1 Bibliographie
4.2 Articles connexes
4.3 Lien externe
4.4 Notes et références

Utilisation historique du terme

Le terme spectre, signifiant « apparence immatérielle », « illusion » s'appliquait, au XVIIe siècle, à tous les phénomènes optiques qu'on ne s'expliquait pas. Synonyme de couleur accidentelle, il servait pour les impressions rétiniennes du contraste simultané ou successif aussi bien que pour les irisations vues au bord d'un objet regardé à travers un prisme4.

Newton utilise une seule fois le terme « Spectrum » pour présenter ses expériences en optique dans son article de 16715. Procédant avec soin, il projette un rayon de lumière blanche du Soleil passant au travers d'un volet par un trou de 6 mm de diamètre et dévié par un prisme sur un mur, et obtient un spectre (op. cit., p. 3076) environ cinq fois plus long que large. Éliminant toutes les autres causes possibles, Newton conclut que la lumière blanche est « un mélange hétérogène de rayons différemment réfrangibles » (op. cit., p. 3079). Les couleurs ne sont pas, dit-il, des qualifications de la lumière, comme on l'estimait depuis Aristote, mais des propriétés originales, différentes dans chaque rayon ; les moins réfrangibles sont de couleur rouge, et les plus réfrangibles sont d'un violet profond, et cette association de propriétés ne peut être brisée par aucun moyen (op. cit., p. 3081). Les transmutations de couleurs ne se produisent que lorsqu'il y a mélange de rayons. Ce sont ces couleurs, et non celles séparées par le prisme, qui sont illusoires, fugaces et apparentes. « Les couleurs originales ou premières sont le rouge, le jaune, le vert, le bleu et un violet-pourpre, ensemble avec l'orange, l'indigo, et une variété indéfinie de gradations intermédiaires6 ». Toute une série de phénomènes optiques s'expliquent ainsi, y compris la coloration des objets (op. cit., p. 3084). Avec ces conclusions, il est clair que Newton n'emploiera plus le terme de spectre. Les « couleurs prismatiques » (op. cit., p. 3087) ne sont pas illusoires ou immatérielles : les autres couleurs le sont.

La théorie de Newton est immédiatement adoptée par le public, mais des savants influents, comme du Fay7, doutent. Voltaire défend la théorie de Newton avec une interprétation particulière qui transforme le spectre continu en sept rayons principaux8. Le jésuite Castel s'oppose avec détermination à ce qu'il considère comme un phénomène de mode9. Quelles sont, dit-il, ces sept couleurs que le savant anglais discerne, par raport aux trois qui, comme les peintres et les teinturiers le savent depuis fort longtemps, suffisent pour en reconstituer une infinité10 ?

Après plus d'un siècle, des intellectuels, moralistes et philosophes comme Goethe11 suivi par Schopenhauer12 s'obstinent à contester les conclusions de la physique. Pour eux, les couleurs prismatiques sont un « spectre », une illusion trompeuse. L'explication par des causes physiologiques, avec la théorie de Young et Helmholtz, de la synthèse trichrome des couleurs, résoudra l'apparente contradiction entre les pratiques des coloristes et les expériences des physiciens.

Après la séparation des recherches optiques et de celles sur la perception, le terme spectre reste en usage en physique, au sens de « description d'un signal par les fréquences ou les longueurs d'onde (voire les énergies) qui le composent13 », tandis que les arts de la couleur et la colorimétrie adoptent une série de caractérisations de la couleur qui leur est propre.

Du point de vue de la physique, la lumière est une variété de rayonnement électromagnétique, partageant certaines propriétés d'une onde et certaines de celles des particules14. La vitesse de la lumière au travers d'un matériau est inférieure à celle dans le vide. Le rapport des vitesses est connu sous le nom d'indice de réfraction du matériau. Dans certaines matières, dites dispersives, la vitesse, et donc l'indice de réfraction dépend de la fréquence. La lumière qui contient plusieurs fréquences ou énergies photoniques se disperse en les traversant sous une incidence non perpendiculaire. Le verre est l'une de ces matières, ce qui permet de créer un spectre optique depuis la lumière blanche avec un prismes en verre.

Un réseau de diffraction permet aussi, par l'effet des interférences, la dispersion des rayons lumineux selon la fréquence. C'est le principal procédé aujourd'hui pour l'analyse du spectre.
Spectroscopie
Articles détaillés : spectroscopie et spectroscopie astronomique.

L'étude scientifique des objets fondée sur l'analyse de la lumière qu'ils émettent est nommée spectroscopie. Une application très importante de la spectroscopie est l'astronomie, où la spectroscopie est essentielle à l'analyse d'objets distants. En particulier, la spectroscopie astronomique utilise des instruments à forte dispersion pour observer le spectre à de très hautes résolutions.

Fraunhofer repéra le premier l'existence de raies obscures dans la lumière du Soleil décomposée par le prisme. Différents éléments chimiques peuvent être détectés dans les astres par les raies d'émission ou d'absorption contenues dans leur spectre, la position des raies dans le spectre pouvant renseigner sur la nature des éléments chimiques, ainsi que sur la vitesse radiale des astres. Les premières exoplanètes ont été ainsi découvertes en analysant le spectre des étoiles à une si grande résolution que des petites variations de leur vélocité radiale - de quelques mètres par seconde - purent être détectées : la présence de planètes fut révélée par leur influence gravitationnelle sur les étoiles analysées, ainsi que leurs trajectoires.
Couleurs du spectre
Article détaillé : Efficacité lumineuse spectrale.
Le spectre électromagnétique (le spectre visible correspond aux couleurs en bas du schéma)

En optique, on décrit généralement le spectre en fonction de la longueur d'onde dans le vide du rayonnement. En passant dans un milieu quelconque, la vitesse de la lumière décroît, tandis que la fréquence et l'énergie photonique qui lui est équivalente restent identiques. Par conséquent, la longueur d'onde varie d'un milieu à l'autre selon la réfringence. Il serait plus rigoureux de définir le rayonnement en fonction de l'énergie photonique, mais pour des raisons historiques et surtout pratiques, on parle de longueur d'onde, en sous-entendant dans le vide.

La vision humaine a une sensibilité maximale en vision photopique (diurne) pour un rayonnement de longueur d'onde voisine de 555 nm, ce qui correspond à un vert-jaunâtre.

Chaque « couleur spectrale » correspond à une longueur d’onde précise ; cependant, le spectre des lumières présentes dans la nature comprend en général l'ensemble des rayonnements, en proportion variables. La spectrométrie étudie les procédés de décomposition, d’observation et de mesure des radiations en étroites bandes de fréquence.
Spectromètre courant :

Un spectromètre du spectre visible (et longueurs d'onde voisines) est devenu un instrument assez courant, analysant la lumière par bandes de longueur d'onde de 5 à 10 nm.

Un tel appareil, capable de donner cent niveaux différents pour chacune de ses quarante bandes, peut représenter 10040 spectres différents.

Cependant, dans certaines régions du spectre, un humain normal peut distinguer des ondes de longueur d'onde différant de moins de 1 nm, et plus d'une centaine de niveaux de luminosité15. Pourtant, la description d'une couleur n'a pas besoin d'autant de données que pourrait laisser croire la spectroscopie. Les humains n'ont en vision diurne que trois types de récepteurs, et il suffit de trois nombres pour décrire une couleur perçue. De nombreuses lumières mélangées de plusieurs radiations de longueurs d'onde différentes, dites métamères, se perçoivent identiquement. Les lumières monochromatiques n'ont pas de métamère, sauf à utiliser un mélange de deux rayonnements proches pour donner à percevoir un intermédiaire entre eux.

La description de la couleur perçue est l'objet de la colorimétrie ; mais la spectrométrie a une grande utilité lorsqu'il s'agit de couleurs de surface. Une surface colorée renvoie une partie du spectre de l'illuminant qui l'éclaire, absorbant le reste. Changer l'illuminant, c'est changer la lumière émise par la surface. Deux surfaces peuvent apparaître identiques sous un illuminant, mais, leur réflectance spectrale étant différente, ne plus être métamères sous un autre. Pour résoudre les problèmes que cela peut susciter, sans avoir à expérimenter avec tous les illuminants possibles, il faut étudier leur spectre.

On utilise parfois par extension le terme lumière pour désigner les rayonnements ultraviolets (UV), comme dans l'expression « lumière noire », ou infrarouges (IR), bien que ces rayonnements ne soient pas visibles16.
Longueurs d'onde approximatives des couleurs spectrales

Bien que le spectre soit continu et qu'il n’y ait pas de frontière claire entre une couleur et la suivante, la table suivante donne les valeurs limites des principaux champs chromatiques, avec les noms et limites de longueur d'onde dans le vide indiqués par la norme française AFNOR X080-10 « Classification méthodique générale des couleurs »17.

La fréquence du rayonnement en hertz s'obtient en divisant la vitesse de la lumière, soit environ 3×108 m/s, par la longueur d'onde en mètres. La fréquence en THz s'obtient en divisant 300 000 par la longueur d'onde en nanomètres, ou 1×10-9 m.
Couleurs du spectre Longueur d'onde (nm) Champ chromatique Couleur Commentaire
380 — 449 Violet 445 primaire CIE 1931 435,8
449 — 466 Violet-bleu 455 primaire sRGB : 464
466 — 478 Bleu-violet 470 indigo entre le bleu et le violet (Newton)
478 — 483 Bleu 480
483 — 490 Bleu-vert 485
490 — 510 Vert-bleu 500
510 — 541 Vert 525
541 — 573 Vert-jaune 555 CIE 1931 : 546,1 ; primaire sRGB : 549.
573 — 575 Jaune-vert 574
575 — 579 Jaune 577
579 — 584 Jaune-orangé 582
584 — 588 Orangé-jaune 586
588 — 593 Orangé 590
593 — 605 Orangé-rouge 600
605 — 622 Rouge-orangé 615 primaire sRGB : 611
622 — 700 Rouge 650 primaire CIE 1931 : 700

Les couleurs primaires d'instrumentation de la CIE (1931) correspondent à des raies spectrales du mercure, pour celles à 435,8 et 549 nm, et est une valeur arbitraire pour celle à 700 nm, dont la luminance n'est que de 0,004102 du maximum atteint vers 555 nm.
Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Spectre visible, sur Wikimedia Commons La lumière, sur Wikiversity

Bibliographie

Maurice Déribéré, La couleur, Paris, PUF, coll. « Que Sais-Je » (no 220), 2014, 12e éd. (1re éd. 1964)
Yves Le Grand, Optique physiologique : Tome 2, Lumière et couleurs, Paris, Masson, 1972.
Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck, 2013, p. 635

Articles connexes

Bande spectrale
Spectre électromagnétique

Lien externe

(fr) Tout savoir sur la photosynthèse et le photovoltaïsme

Notes et références

↑ Valeurs tabulées des fonctions colorimétriques de 380 à 780 nm par pas de 5 nm Données à télécharger sur le site de la CIE [archive]
↑ Robert Sève, Science de la couleur : Aspects physiques et perceptifs, Marseille, Chalagam, 2009, p. 43
↑ Neil Campbell, Jane Reece, Biologie, 7e édition, 2007, (ISBN 978-2-7440-7223-9), p. 198.
↑ Trésor de la langue française, Oxford English Dictionnary.
↑ « A letter from M. Isaac Newton », Philosophical Transactions,‎ 1671, p. 3075-3087 (lire en ligne [archive])
↑ « The Original or primary colours are, Red, Yellow, Green, Blew, and a Violet-purple, together with Orange, Indico, and an indefinite variety of Intermediate gradations » (op. cit., p. 3082)
↑ Charles François de Cisternay du Fay, « Observations physiques sur le mélange de quelques couleurs », Mémoires présentés à l'Académie des sciences,‎ 1737 (lire en ligne [archive]) ; pour plus de noms et résumés des opinions, voir Alexandre Savérien, Dictionnaire universel de mathématique et de physique, Paris, 1750 (lire en ligne [archive]), p. 229-234 « couleurs ».
↑ Déribéré 2014, p. 21-30 ; Voltaire, Élémens de la philosophie de Neuton : mis à la portée de tout le monde, Amsterdam, 1738 (lire en ligne [archive]), p. 117.
↑ Louis-Bertrand Castel, L'optique des couleurs : fondée sur les simples observations & tournée sur-tout à la pratique de la peinture, de la teinture & des autres arts coloristes, Paris, Briasson, 1740 (lire en ligne [archive]), introduction et chapitre 1.
↑ Voir par exemple Jacob Christoph Le Blon, Coloritto : L'Harmonie du coloris dans la peinture; reduite en pratique mecanique et à des regles sures & faciles : avec des figures en couleur, pour en faciliter l'intelligence, non seulement aux peintres, mais à tous ceux qui aiment la peinture., sans nom d'éditeur, 1725 (lire en ligne [archive]).
↑ Traité des couleurs, 1810
↑ Sur la vue et les couleurs, 1816.
↑ Dic. Phys., p. 635 « Spectre ».
↑ Voir Dualité onde-particule.
↑ Robert Sève, Science de la couleur : Aspects physiques et perceptifs, Marseille, Chalagam, 2009, p. 121-122.
↑ Dic. Phys., p. 406 « Lumière ».
↑ Robert Sève, Science de la couleur : Aspects physiques et perceptifs, Marseille, Chalagam, 2009, p. 248. Les fonctions colorimétriques donnent des valeurs convertis en codes informatique au mieux pour un écran conforme aux préconisations sRGB ; les luminances correspondent à la luminance relative de la couleur spectrale. Le nombre inscrit dans la couleur est la longueur d'onde dominante représentée

[masquer]
v · m
Spectre électromagnétique
← Hautes fréquences Longueurs d'onde →
Rayons gamma · Rayons X · Ultraviolet · Visible · Infrarouge · Térahertz · Micro-ondes · Ondes radio
Ultraviolets UV-A · UV-B · UV-C
Bande U
Lumière visible Violet · Bleu · Vert · Jaune · Orange · Rouge
Bande B · Bande V · Bande R
Infrarouges Infrarouge proche · Infrarouge moyen · Infrarouge lointain
Bande I · Bande Y · Bande J · Bande K
Micro-ondes Bande W · Bande V · Bande U · Bande Q · Bande Ka · Bande K · Bande Ku · Bande X · Bande C · Bande S · Bande L
Ondes radios ELF · SLF · ULF · VLF · LF · MF · HF · VHF · UHF · SHF · EHF
Bande I
Longueur d'onde Basse fréquence · Moyenne fréquence · Onde courte · Micro-onde · Télégraphie sans fil
Spectre électromagnétique en détail  
Spectre électromagnétique : Radioélectricité · Spectre radiofréquence · Bandes VHF-UHF · Spectre micro-ondes
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
yanis la chouette



Nombre de messages : 7157
Localisation : http://yanis.tignard.free.fr/
Date d'inscription : 09/11/2005

MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   Jeu 10 Nov à 9:58

L'infrarouge lointain (IRL1) est une région d'infrarouge du spectre électromagnétique ayant une fréquence inférieure à celle de la lumière visible et aux autres bandes d'infrarouge. L'infrarouge lointain se définit souvent comme tout rayonnement avec une longueur d'onde entre 15 micromètres (µm) et 1 mm (qui correspond à une plage entre 20 THz et 300 GHz). Différentes sources préfèrent d'autres délimitations pour son spectre ; par exemple, parfois les astronomes définissent l'infrarouge lointain dans une fourchette entre 25 µm et 350 µm2. La norme ISO 20473:2007 définit quant à elle l'infrarouge lointain à la fourchette comprise entre 50 µm et 1 mm3.

La lumière visible représente une plage de rayonnements dont les longueurs d'onde se trouvent entre 400 nm et 700 nm, ce qui signifie que les photons du rouge lointain ont moins d'énergie que ceux de la lumière visible4.

Sommaire

1 Applications
1.1 Astronomie
1.2 Chauffage IRL (ou infrarouge long ou lointain)
2 Références
3 Voir aussi

Applications
Astronomie

Les objets dont la température est comprise entre 5 K et 340 K émettront des rayonnements d'infrarouge lointain (loi du déplacement de Wien). Ce fait sert quelquefois à observer des gaz entre-étoiles lors de la formation de nouvelles étoiles. Par exemple, le cœur de la galaxie de la Voie lactée apparaît très lumineux en matière de rouge lointain parce que son amas dense d'étoiles réchauffe la poussière environnante et la fait émettre des rayonnements de cette région du spectre. Outre le cœur de notre propre galaxie, l'objet infrarouge lointain le plus lumineux du ciel est la galaxie M82, dont sa région centrale rayonne autant d'infrarouge lointain que tous les étoiles de la Voie lactée, en raison du réchauffement de la poussière au centre de M82 par une source inconnue.
Chauffage IRL (ou infrarouge long ou lointain)
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

La longueur d'onde du rayonnement infrarouge lointain est utilisée dans le domaine du chauffage depuis quelques années. Cette nouvelle technologie de chauffage apporte à l'utilisateur une chaleur différente puisque l'infrarouge lointain vient réchauffer directement les tissus du corps humain de façon identique au soleil sans les inconvénients des rayonnements ultraviolets qui eux peuvent être nuisible.

Un chauffage classique chauffe le volume d'air contenu dans une pièce. En s'élevant, l'air chauffé rencontre l'air frais, créant un courant de convection responsable de la sensation de chaud et froid. Par la nécessité de chauffer un grand volume d'air, cette solution provoque une importante dépense énergétique.

En revanche, dans le cadre d'un chauffage à infrarouge lointain, la chaleur est alors émise par rayonnement. Cette longueur d'onde entre en résonance avec toutes les matières qu'ils rencontrent, réchauffant les masses plutôt que l'air. La chaleur ressentie est comparable à celle d'un rayon de soleil par un bel après-midi d'hiver. En ne réchauffant pas l'air mais uniquement ce qui doit l'être, l'économie énergétique réalisée est considérable.


Références

http://www.sante-energie.com/Infrarouge.html [archive]
↑ "Near, Mid and Far-Infrared". Caltech Infrared Processing and Analysis Center. Retrouvé 2013-01-28.
↑ (en) « ISO 20473:2007 Optique et photonique -- Bandes spectrales » [archive], sur iso.org
↑ Gregory Hallock Smith (2006), Camera lenses: from box camera to digital, SPIE Press, p. 4, ISBN 978-0-8194-6093-6

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Far infrared » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Astronomie infrarouge
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.atelier-yannistignard.com
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca   

Revenir en haut Aller en bas
 
Anas platyrhynchos, Donald Trump, Prairial et Y'becca
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 3 sur 4Aller à la page : Précédent  1, 2, 3, 4  Suivant
 Sujets similaires
-
» Kevin Conroy vs Donald Trump
» Donald Trump nommé président des États-Unis
» Un, deux, trois. Mickey, Donald et moi ?
» Le 09 juin... Néron, Louis XIV, Donald et l'horreur absolue
» Donald Reignoux, une voix qui vaut de l'or !

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Le clans des mouettes :: Le clans des mouettes-
Sauter vers: