Le clans des mouettes

ainsi est la force.
 
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 Spirales et Y'becca.

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yanis la chouette



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MessageSujet: Spirales et Y'becca.   Mer 12 Oct à 10:52

En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.
http://leclandesmouettes.bbflash.net/t144-bayang-bayang-penonbre-et-reflets-dans-y-becca#3185
http://leclandesmouettes.bbflash.net/t142-les-femmes-moulin-rouge-la-science-et-y-becca
http://leclandesmouettes.bbflash.net/t141-adoption
Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes;

Sommaire

   1 Spirales à deux dimensions
       1.1 Par équation polaire
       1.2 Par arcs de cercles
       1.3 Autres classes de spirales
   2 Construction
       2.1 Approximations
   3 Dans la nature
   4 Aspects culturels
       4.1 Vocabulaire
       4.2 Technologie
       4.3 En fiction
   5 Notes et références
   6 Voir aussi
       6.1 Articles connexes
       6.2 Liens externes

Spirales à deux dimensions
Par équation polaire

Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle θ. Le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle :
Archimedean spiral.svg spirale d'Archimède  : r = a + b ⋅ θ   {\displaystyle r=a+b\cdot \theta ~} r=a+b\cdot \theta ~. Le rayon est proportionnel à l'angle. La distance entre les spires est constante. On utilise des cames en forme de branches de spirales d'Archimède pour convertir une rotation en mouvement de translation uniforme1.
Logarithmic Spiral Pylab.svg spirale logarithmique ou spirale de Bernoulli : r = a ⋅ b θ   {\displaystyle r=a\cdot b^{\theta }~} r=a\cdot b^{\theta }~ . Le logarithme du rayon est proportionnel à l'angle . Elle est équiangle : en chaque point de la courbe l'angle entre la tangentes et le rayon est constant. La spirale d'or est un cas particulier de spirale logarithmique
Fermat's spiral.svg spirale de Fermat (en) : r = θ {\displaystyle r={\sqrt {\theta }}} r={\sqrt {\theta }}. C'est un cas particulier de spirale parabolique. Elle partage le plan en deux régions connexes2 et possède une symétrie centrale. Elle serait la courbe qui sépare le yin et yang dans le taijitu3 quoiqu'en pratique des arcs de cercles sont généralement utilisés.
Galileo spiral.svg spirale de Galilée : r = θ 2 {\displaystyle r=\theta ^{2}} r=\theta ^{2}. La trajectoire d'un corps en chute libre dans le plan de l'équateur rapporté à un référentiel terrestre est une portion de spirale de Galilée4.


Il peut aussi tendre vers une limite finie ; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote à un cercle.
Asymptotic circle spiral.svg r = θ 1 + θ   {\displaystyle r={\frac {\theta }{1+\theta }}~} {\displaystyle r={\frac {\theta }{1+\theta }}~}
Circle - black simple.svg Le cercle en est alors un cas dégénéré.

Le rayon peut aussi décroître avec l'angle.
Hyperspiral.svg spirale hyperbolique (en) : r = a θ   {\displaystyle r={\frac {a}{\theta }}~} r={\frac {a}{\theta }}~. La spirale est asymptote à une droite
Lituus.svg spirale de Cotes (en) ou lituus  : r = a θ   {\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}~} {\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}~}. Elle a été étudiée par Roger Cotes. Cette courbe admet l'axe (Ox) comme asymptote.
Cornu Spiral.svg clothoïde ou spirale d'Euler
Par arcs de cercles
Fibonacci spiral.svg spirale de Fibonacci approximation de la spirale d'or construite avec une suite de Fibonacci
2centersspiral.svg spirales à centre multiples composée de groupes d'arcs de cercle concentriques qui se connectent tangentiellement
Autres classes de spirales
Involute of circle.png développante du cercle


Construction

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : il suffit d'enrouler un cordeau attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros. On obtient une (approximation de) développante du cercle
Approximations
Spirangle 7angle 8turn.jpg
Spiral of Theodorus.svg

La spirale de Théodore de Cyrène permet de construire géométriquement les racines carrées des entiers consécutifs.

Un spirangle (en) est une figure similaire à une spirale mais basée sur des segments.
Dans la nature
La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple
Structure 3D, de la macromolécule hélicoïdale de l'ADN, support de l'hérédité

La spirale hélicoïdale (ou une structure moins visible mais spiralée), généralement construite selon la suite de Fibonacci, est fréquente dans le monde vivant.

Elle est bien connue et bien visible dans les formes de coquilles d'escargots, un peu moins voyante mais fréquente chez les végétaux, avec par exemple la disposition spiralée des graines du tournesol ou la structure du chou brocoli, ou encore de la pomme de pin ou encore dans la forme prise par les tiges en croissance de certaines plantes grimpantes. En botanique, la spirale est présente dans la disposition des graines du tournesol, ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).

La spirale est également présente dans le monde animal (certains tissus musculaires) et dans le monde microscopique chez certaines bactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux et certaines le sont pour l'homme (ex spirochètes responsables de la syphilis, ou bactéries du genre Borrelia responsables de la maladie de Lyme, ou chez les Campylobacter 5, Campylobacter pyloridis responsables d'ulcères de l'estomac. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à une motilité particulière, adaptées au mucus5 ou à d'autres environnements mucilo-gélatineux (ex : intérieur de l'œil pour certaines borrélies). La forme spiralée (en tire-bouchon) et une motilité particulière de ces organismes semblent leur donner un avantage sélectif dans les environnements visqueux et mucilagineux 5.

Dans des dimensions encore plus petites, l'ADN est lui-même spiralé (quand il n'est pas déroulé), mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires (en anneau).

Une galaxie spirale tire son nom de la forme selon laquelle leurs bras s'enroulent autour du centre
Aspects culturels
Vocabulaire
La spirale est un des motifs qui semblent avoir fasciné l'homme depuis la préhistoire, des gravures celtes aux tatouages polynésiens
Escaliers hélicoïdaux formant une spirale vue de dessus ou d'en bas

En latin spira ou en grec ancien σπείρα / speira, ce mot désigne un enroulement.

Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.


Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois dimensions, on parle plutôt d'hélice.
Technologie
Mouvement contraint de deux spirales d'Archimède l'une dans l'autre, qui évoque schématiquement le principe de certains compresseurs. Les points de contact entre les deux spirales se déplacent eux-même en suivant le tracé de la spirale rouge.

La spirale possède des propriétés géométriques exploitées par plusieurs mécanismes créés par l'homme, par exemple le ressort spiral ou le disque microsillon.
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
En fiction

   La spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc.).
   Le Père Ubu d'Alfred Jarry porte sur le ventre une spirale appelée «gidouille».
   Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique, qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose. C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
   En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent — selon le contexte — la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.
   Un manga d'horreur One-shot de Junji Ito appelé Uzumaki (spirale en japonais) a pour thématique l'obsession des spirales.
   La spirale est utilisée dans la série américaine Teen Wolf pour désigner la vengeance d'un loup-garou. Peter Hale l'utilise dans la saison 1 pour se venger de Kate Argent. Elle est également utilisée dans la saison 3A.
   Le sound system britannique Spiral Tribe doit son nom à l'un de ses fondateurs, Mark Harrison, fasciné par la symbolique de la spirale.

Notes et références

   ↑ http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html
   ↑ http://www.mathcurve.com/courbes2d/fermat/fermatspirale.shtml
   ↑ http://images.math.cnrs.fr/Le-Yin-et-le-Yang.html
   ↑ http://www.mathcurve.com/courbes2d/galilee/galilee.shtml
   ↑ a, b et c Stuart L. Hazell, drian Lee, Lynette Brady et William Hennessy (1986), Campylobacter pyloridis and gastritis: association with intercellular spaces and adaptation to an Environment of Mucus as Important Factors in Colonization of the Gastric Epithelium  ; Journal of Infectious disease (J Infect Dis), 153 (4): 658-663. doi: 10.1093/infdis/153.4.658 (résumé)

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

   Spirale, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

   Développante du cercle
   Enseigne de barbier
   Tourbillon (physique)

Liens externes

   Spirale (page du site Mathcurve.com)

v · m
Exemples de courbes

   Coniques
       Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
       Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
       Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
       Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

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Dernière édition par yanis la chouette le Jeu 13 Oct à 9:20, édité 6 fois
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MessageSujet: Re: Spirales et Y'becca.   Mer 12 Oct à 10:54

Courbe du diable

La courbe du diable a été étudiée en 1750 par Cramer et en 1810 par Lacroix.

Sommaire

1 Étymologie
2 Équations
3 Notes et références
4 Voir aussi
4.1 Articles connexes
4.2 Lien externe

Étymologie

Cette courbe doit son nom à l'arc fermé qui la compose en partie, et qui rappelle la forme d'un jouet populaire à la fin du XVIIIe siècle, le diabolo.
Équations

Équation polaire : r 2 = b 2 + a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}\,} {\displaystyle r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}\,}.

Équation cartésienne : x 4 − y 4 − ( a 2 + b 2 ) ⋅ x 2 − ( a 2 − b 2 ) ⋅ y 2 = 0 {\displaystyle x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})\cdot x^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot y^{2}=0\,} {\displaystyle x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})\cdot x^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot y^{2}=0\,}

Autre forme cartésienne : y 2 ( y 2 − a 2 ) = x 2 ( x 2 − b 2 ) {\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})\,} {\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})\,}

Notes et références
Voir aussi
Articles connexes

Lemniscate

Lien externe

Une présentation de la courbe

[masquer]
v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

Gabriel Cramer, né le 31 juillet 1704 à Genève et mort le 4 janvier 1752 à Bagnols-sur-Cèze, est un mathématicien suisse1, professeur de mathématiques et de philosophie à l'académie de Genève. Lui et son collègue Jean-Louis Calandrini sont souvent considérés comme les artisans du renouveau scientifique à Genève au début du XVIIIe siècle, par l'introduction de la philosophie naturelle newtonienne.

Les contributions de Cramer aux mathématiques portent essentiellement sur l'algèbre et la géométrie, au travers de son unique ouvrage publié, un traité sur les courbes intitulé Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, paru à Genève en 1750. Dans ce traité on trouve notamment la méthode connue aujourd'hui sous le nom de règle de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires d'équations, utilisant ce qui sera ultérieurement appelé déterminants.

et

Sylvestre-François Lacroix ou De la Croix1, né le 28 avril 1765 à Paris et mort le 24 mai 1843 à Paris, est un mathématicien français dont le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral eut une très grande influence au XIXe siècle. Issu d'une modeste famille parisienne, Lacroix fut initié aux mathématiques par l'abbé Joseph-François Marie, professeur au collège des Quatre-Nations, et suivit durant les hivers 1780-1781 et 1781-1782 les cours d'« analyse appliqué à la géométrie » (géométrie analytique), que Gaspard Monge dispensait à la chaire d'hydrodynamique du Louvre comme assistant de Charles Bossut. Monge, qui était alors professeur à l’École royale du génie de Mézières, venait de rejoindre la capitale à la faveur de sa nomination comme adjoint à l'Académie royale des sciences. Il n'enseignait toutefois pas la géométrie descriptive, car les méthodes de cette discipline (double projection, relèvement, rabattement, plans tangents) étaient tenues comme un secret militaire. Lacroix soupçonna toutefois l'existence d'une discipline permettant la solution géométrique de problèmes de géométrie dans l'espace. Fin 1779 Pierre Charles Le Monnier, professeur de physique au Collège royal de France, propose à Lacroix, alors âgé de 14 ans, de travailler sur des observations lunaires, travaux de calcul difficiles qu'il mène durant deux ans.
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MessageSujet: Re: Spirales et Y'becca.   Mer 12 Oct à 10:56

Étymologie

Le mot brachistochrone vient du grec brakhistos (« le plus court ») et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos (« temps »). Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli.
Histoire
Maquette montrant la faculté brachistochrone de la cycloïde (Musée d'histoire des sciences de Florence).

La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens de la fin du XVIIe siècle1. Il prend sa source dans une affirmation de Galilée en 1633, qui crut que la solution consistait en un arc de cercle2. Cependant, Galilée ne disposait pas des méthodes du calcul différentiel qui permettaient d'apporter une solution. Jean Bernoulli pose clairement le problème en juin 1696 dans les Acta Eruditorum3. Très rapidement, Leibniz propose une solution à Jean Bernoulli4, mais sans qu'il reconnaisse la courbe en question. C'est Jean Bernoulli, qui dispose de deux solutions, qui reconnaît un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale5. Tous deux décident de différer la publication de leurs solutions pour laisser à d'autres la possibilité d'aborder le problème6. Celui-ci fut également résolu par Jacques Bernoulli7, frère de Jean, et par Newton, L'Hôpital et Tschirnhaus.

Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques qu'on appelle le calcul des variations.
Démonstration de la solution
Démonstration historique (par Jean Bernoulli)

Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière. La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse augmente selon une accélération constante (l’attraction terrestre g). La loi de la conservation de l’énergie permet d’exprimer la vitesse d’un corps soumis à l’attraction terrestre par :

v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}} {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}},

où h représente la perte d’altitude par rapport au point de départ.

La loi de la réfraction, selon le principe de Fermat, indique que tout au long de sa trajectoire un rayon lumineux obéit à la règle

sin ⁡ θ v = C s t e {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}=\mathrm {Cste} } {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}=\mathrm {Cste} },

où θ {\displaystyle \theta } \theta représente l’angle par rapport à la verticale. En insérant dans cette formule l’expression de la vitesse trouvée plus haut, on constate immédiatement deux choses :

– Au point de départ, lorsque la vitesse est nulle, l’angle doit nécessairement être nul. Donc la courbe brachistochrone est tangente à la verticale à l’origine.

– La vitesse est bornée car le sinus ne peut être supérieur à 1. Cette vitesse maximum est atteinte quand la particule (ou le rayon) passe par l’horizontale.

Sans restreindre la généralité du problème, on va supposer que la particule part du point de coordonnées (0,0) et que la vitesse maximum est atteinte à l’altitude –D. La loi de la réfraction s’exprime alors par :

sin ⁡ θ − 2 g y = 1 2 g D {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}} {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}}.

Sachant que la particule se déplace sur une courbe, on a la relation :

sin ⁡ θ = d x d x 2 + d y 2 {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}} {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}.

En insérant cette expression dans la formule précédente et en réarrangeant les termes on trouve :

( 1 + y ′ 2 ) y = − D {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=-D} {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=-D}.

Ce qui est l’équation différentielle de l’opposée d’une cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre D.
Démonstration avec le calcul des variations
Brachi.PNG

Soit y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} y=f(x) l'équation cartésienne de la courbe (on exclut les courbes ayant des parties verticales), y étant dirigé vers le bas, et la courbe commençant à l'origine. On exprime un déplacement infinitésimal sur la courbe :

d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}={\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx} {\displaystyle ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}={\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx}.

Mais, d'autre part, on a toujours, en vertu du théorème de l'énergie cinétique, la relation suivante :

v = d s d t = 2 g y {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {2gy}}} {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {2gy}}}.

On peut alors exprimer le temps de parcours infinitésimal d t {\displaystyle dt} dt :

d t = 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle dt={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle dt={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}.

Donc T = ∫ x a x b 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle T=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle T=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}, avec T le temps de parcours (à minimiser), x a {\displaystyle x_{a}} x_{a} et x b {\displaystyle x_{b}} x_{b} les abscisses de départ et d'arrivée.

Il s'agit donc de trouver le minimum de la fonctionnelle F : y ↦ ∫ x a x b 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}. Les extrema d'une telle fonctionnelle F : y ↦ ∫ x a x b L ( x , y , y ′ ) d x {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}L(x,y,y')dx} {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}L(x,y,y')dx} vérifient l'équation d'Euler-Lagrange, qui est une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que y {\displaystyle y} y minimise la fonctionnelle.

La fonctionnelle ne dépendant pas explicitement de x {\displaystyle x} x, la formule de Beltrami est ici directement applicable, à savoir L − y ′ ∂ L ∂ y ′ = k {\displaystyle L-y'{\partial L \over \partial y'}=k} {\displaystyle L-y'{\partial L \over \partial y'}=k} avec k une constante arbitraire, ce qui donne ici :

1 + y ′ 2 2 g y − y ′ 2 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) = k {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}-{\frac {{y'}^{2}}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k} {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}-{\frac {{y'}^{2}}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k}

Après multiplication des deux membres par 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) {\displaystyle {\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}} {\displaystyle {\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}} et simplification, on obtient que si y {\displaystyle y} y est un extremum de F {\displaystyle F} F alors :

1 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) = k {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k}.

On obtient donc l'équation différentielle ( 1 + y ′ 2 ) y = C s t e {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=\mathrm {Cste} } {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=\mathrm {Cste} }, où la constante s'obtient en constatant que y {\displaystyle y} y est égal au diamètre D {\displaystyle D} D du cercle générant la cycloïde lorsque y ′ = 0 {\displaystyle y'=0} y'=0. Ce n'est autre que l'altitude minimale atteinte par le point mobile.
Résolution de l'équation différentielle et solution

Pour résoudre ( 1 + y ′ 2 ) y = D {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=D} {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=D}, on procède au changement de variable suivant :

y ′ = cotan ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle y'=\operatorname {cotan} \left({\frac {\theta }{2}}\right)} {\displaystyle y'=\operatorname {cotan} \left({\frac {\theta }{2}}\right)}.

On trouve y ( θ ) {\displaystyle y(\theta )} {\displaystyle y(\theta )} en remplaçant y ′ {\displaystyle y'} y' directement dans l'équation différentielle, puis x ( θ ) {\displaystyle x(\theta )} {\displaystyle x(\theta )} en remarquant que d y / d x = cotan ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle dy/dx=\operatorname {cotan} (\theta /2)} {\displaystyle dy/dx=\operatorname {cotan} (\theta /2)} donne d x = tan ⁡ ( θ / 2 ) d y {\displaystyle dx=\tan(\theta /2)dy} {\displaystyle dx=\tan(\theta /2)dy}. On a d y = D 2 sin ⁡ ( θ ) d θ {\displaystyle dy={\frac {D}{2}}\sin(\theta )d\theta } {\displaystyle dy={\frac {D}{2}}\sin(\theta )d\theta } d'après l'expression trouvée pour y ( θ ) {\displaystyle y(\theta )} {\displaystyle y(\theta )}. Une intégration de d x {\displaystyle dx} {\displaystyle dx} en θ {\displaystyle \theta } \theta donne x ( θ ) {\displaystyle x(\theta )} {\displaystyle x(\theta )} :

∫ d x = ∫ D 2 tan ⁡ ( θ / 2 ) sin ⁡ ( θ ) d θ = D 2 ∫ ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) d θ {\displaystyle \int {dx}=\int {\frac {D}{2}}\tan(\theta /2)\sin(\theta )d\theta ={\frac {D}{2}}\int (1-\cos(\theta ))d\theta } {\displaystyle \int {dx}=\int {\frac {D}{2}}\tan(\theta /2)\sin(\theta )d\theta ={\frac {D}{2}}\int (1-\cos(\theta ))d\theta }


On obtient finalement l'équation paramétrique de la courbe solution avec les conditions aux limites adéquates :

x ( θ ) = D 2 ( θ − sin ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle x(\theta )={\frac {D}{2}}\left(\theta -\sin(\theta )\right)} {\displaystyle x(\theta )={\frac {D}{2}}\left(\theta -\sin(\theta )\right)},

y ( θ ) = D 2 ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle y(\theta )={\frac {D}{2}}\left(1-\cos(\theta )\right)} {\displaystyle y(\theta )={\frac {D}{2}}\left(1-\cos(\theta )\right)}

Il s'agit d'une cycloïde, sous sa forme paramétrée (l'orientation du graphique est la même qu'au début, les coordonnées x et y de la courbe sont toujours positives, l'axe des y ayant simplement été dessiné vers le haut) :
Cycloid animated.gif
Voir aussi

Isochrone de Leibniz
Courbe tautochrone

Liens externes

Sur le site MathCurve.com
Article historique en anglais
Résolution complète et détaillée du problème en anglais

Notes et références

↑ Émilie du Châtelet écrivit à ce sujet, dans Les institutions de physique (1740) : « §468. Le problème de la ligne de la plus vite descente d'un corps tombant obliquement à l'horizon par l'action de la pesanteur d'un point donné à un autre point donné, est fameux par l'erreur du grand Galilée, qui a cru que cette ligne était un arc de cercle, et par les différentes solutions que les plus grands géomètres de l'Europe en ont donné »
↑ Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633), rééd. PUF, 1995, p.199 : « Il semble possible de conclure que le mouvement le plus rapide entre deux points n'a pas lieu le long de la ligne la plus courte, c'est-à-dire le long d'une droite, mais le long d'un arc de cercle ».
↑ Le problème est posé à la fin de l'article Supplementum defectus Geometriae Cartesianae circa Inventionem Locorum, Opera Johannis Bernoulli [archive], t.I, p.161.
↑ Leibnizens matematische Schriften [archive], t.III, p.290-295
↑ Opera Johannis Bernoulli [archive], t.I, p.187.
↑ Marc Parmentier, Leibniz, naissance du calcul différentiel, Vrin (1989), p.345-358
↑ Le problème de la brachistochrone est à l'origine d'une brouille entre les deux frères Bernoulli, Jacques estimant sa propre solution meilleure que celle de Jean et ayant lancé à son frère le défi de résoudre le problème dans un cadre plus général.

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Jacques ou Jakob Bernoulli (1654-1705) est un mathématicien et physicien suisse (né et mort à Bâle), frère de Jean Bernoulli et oncle de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.

Sommaire

1 Biographie
2 Contributions importantes
2.1 Découverte de la constante mathématique e
3 Œuvre
4 Source partielle
5 Voir aussi
5.1 Articles connexes
5.2 Bibliographie
5.3 Liens externes

Biographie

Il rencontre Robert Boyle et Robert Hooke lors d'un voyage en Angleterre en 1676. Après cela, il se consacre à la physique et aux mathématiques. Il enseigne à l'université de Bâle à partir de 1682, devenant professeur de mathématiques en 1687. Il mérita par ses travaux et ses découvertes d'être nommé associé de l'Académie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin (1702).

Sa correspondance avec Gottfried Wilhelm Leibniz le conduit à étudier le calcul infinitésimal en collaboration avec son frère Jean. Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.
Contributions importantes

Les premières contributions importantes de Jacques Bernoulli sont une étude publiée en 1685 dans laquelle il établit des parallèles entre la logique et l'algèbre, un travail sur les probabilités en 1685 et un sur la géométrie en 1687 dans lequel il donne une construction pour diviser un triangle en quatre parties égales par deux droites perpendiculaires.

En 1689, il publie un important travail sur les séries infinies et sa loi des grands nombres dans la théorie des probabilités. Jacques Bernoulli a publié cinq traités sur les séries infinies entre 1682 et 1704. Les deux premiers de ces traités contiennent de nombreux résultats, tel que le résultat fondamental selon lequel la série ∑ 1 / n {\displaystyle \sum 1/n} \sum 1/n diverge. Bernoulli croyait que ce résultat était nouveau, mais il avait été effectivement prouvé par Pietro Mengoli 40 ans plus tôt. Bernoulli n'a pu trouver la valeur exacte de ∑ 1 / n 2 {\displaystyle \sum 1/n^{2}} \sum 1/n^{2}, mais il a montré qu'il y avait convergence vers une limite finie inférieure à 2. Euler a été le premier à trouver la somme de cette série en 1737. Bernoulli a également étudié les séries d'exponentielles dont il a eu besoin pour le calcul des intérêts composés.

En mai 1690 dans un article publié dans Acta Eruditorum, Jacques Bernoulli a montré que le problème de la détermination de la courbe isochrone est équivalent à la résolution d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre. L'isochrone, ou courbe de descente constante, est la courbe le long de laquelle une particule va descendre par gravité depuis n'importe quel point jusqu'à l'extrémité exactement dans le même temps, quel que soit le point de départ. Ce problème avait été étudié par Huygens en 1687 et Leibniz en 1689. Après avoir trouvé l'équation différentielle, Bernoulli a alors résolu l'équation par ce que nous appelons maintenant la séparation des variables. L'article de Jacques Bernoulli de 1690 est important pour l'histoire du calcul, car le mot d'intégrale apparait pour la première fois avec son sens de l'intégration. En 1696, Bernoulli a résolu l'équation, maintenant appelé l'équation différentielle de Bernoulli :

y ′ = p ( x ) y + q ( x ) y n . {\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.} y'=p(x)y+q(x)y^{n}.

Jacques Bernoulli a également découvert une méthode générale pour déterminer la développée d'une courbe comme lieu des centres de courbure. Il a également étudié les caustiques et en particulier, il a étudié les courbes associées à la parabole, à la spirale logarithmique et aux épicycloïdes autour de 1692. La lemniscate de Bernoulli a été conçue par Jacques Bernoulli en 1694. En 1695, il a étudié le problème du pont-levis où l'on cherche la courbe requise de sorte que le poids coulissant le long du câble garde toujours le pont-levis équilibré.

L'œuvre la plus originale de Jacques Bernoulli a été Ars Conjectandi publié à Bâle en 1713, huit ans après sa mort. Le travail était inachevé au moment de sa mort, mais il est encore le travail le plus important pour la théorie des probabilités. Dans ce livre, Bernoulli passe en revue les travaux des autres auteurs sur les probabilités, en particulier les travaux de van Schooten, Leibniz, et Prestet (en). Les nombres de Bernoulli apparaissent dans ce livre lors d'une discussion sur la série exponentielle. De nombreux exemples sont donnés sur combien on pourrait s'attendre à gagner en jouant divers jeux de hasard. Le concept de processus de Bernoulli est issu de ce travail. Il y a des pensées intéressantes sur ce que les probabilités sont vraiment.

Bernoulli a été l'un des promoteurs les plus importants des méthodes formelles de l'analyse mathématique. L'astuce et l'élégance sont rarement présentes dans sa façon de présenter et de rédiger, mais on y trouve un maximum de rigueur.
Découverte de la constante mathématique e

Bernoulli a découvert la constante e par l'étude d'une question concernant les intérêts composés où il fallait trouver la valeur de l'expression suivante (qui est en fait e) :

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Soit comme exemple, un compte qui a pour valeur initiale 1 € et rapporte 100 pour cent d'intérêt par an. Au bout d'un an, le compte est de 2 € ; mais si l'intérêt est composé chaque six mois, 1 € est multiplié par 1,5, ce qui donne 1 € × 1,52 = 2,25 €. Si l'intérêt est composé chaque trimestre, 1 € × 1,254 = 2,4414… € et s'il est mensuel, 1 € × (1,08333333…)12 = 2,613035… €.

Bernoulli a remarqué que cette suite tend vers une limite (le taux d'intérêt effectif) lorsque les intervalles deviennent de plus en plus petits. Pour un intérêt composé chaque semaine, on trouve 2,692597 € ..., pour un intérêt composé chaque jour, on trouve 2,714567 € ... Si n est le nombre d'intervalles de composition, avec un intérêt de 100%/n pour chaque intervalle, la limite lorsque n devient grand, est le nombre d'Euler qui par la suite a été noté e. Pour des intérêts composés continûment, la valeur du compte atteindra 2,7182818 € ... Plus généralement, un compte dont la valeur initiale est 1 €, et un taux de R euros, aura au bout d'un an la valeur finale eR euros lorsqu'on découpe l'année en une infinité de périodes de composition infiniment courtes.
Œuvre
Ars conjectandi, 1713 (Milano, Fondazione Mansutti).

Son œuvre majeure est Ars Conjectandi publiée après sa mort à Bâle en 1713, avec une préface de son neveu Nicolas Bernoulli. Il y pose les principes du calcul des probabilités et introduit les nombres de Bernoulli.
Il a aussi laissé des Mémoires, réunis sous le titre de Jacobi Bernouilli Opera, Genève, 1744, 2 volumes in-4.

Source partielle

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Voir aussi

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Articles connexes

Loi de Bernoulli en probabilités
Processus de Bernoulli
Loi faible des grands nombres (Théorème de Bernoulli)
Mathématiques en Europe au XVIIe siècle

Bibliographie

Patricia Radelet-De Grave, « Le De curvatura fornicis de Jacob Bernoulli ou l'introduction des infiniment petits dans le calcul des voûtes », dans Entre mécanique et architecture / Between mechanics and architecture, Basel/Boston/Berlin, Birkhauser, 1995 (ISBN 3-7643-5128-4), p. 141-163, DOI:10.1007/978-3-0348-9072-4_9
Liens externes

Ouvrages de Bernoulli numérisés par le SCD de l'Université de Strasbourg
Éloge de Jacques Bernouilli par Fontenelle, site de l'Académie des sciences
Recension de la Notice sur la correspondance de Jean Ier Bernoulli par Gustaf Eneström (en), parue en 1879
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Jacob Bernoulli », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
(de) Moritz Cantor: Bernoulli, Jakob I, dans: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Volume 2, Duncker & Humblot, Leipzig 1875, p. 470-473
Notices d'autoritéVoir et modifier les données sur Wikidata : Fichier d'autorité international virtuel • International Standard Name Identifier • Bibliothèque nationale de France (données) • Système universitaire de documentation • Bibliothèque du Congrès • Gemeinsame Normdatei • Bibliothèque nationale d'Espagne • WorldCat

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v · m
Nombre e
Applications Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

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MessageSujet: Re: Spirales et Y'becca.   Jeu 13 Oct à 9:17

Processus de Paix des secouristes de la république de l'Olivier.

Je crois qu'à l'avenir, plus personne ne pourra recréer des bulles d'exclusions...
Pour cela, je ne peux me permettre de mettre à l'écart tout individu(e) et "État".

Je ne suis qu'une femme ou un homme humble qui en vous adressant ces ces vers,
espère qu'il puisse vous conduire vers l'expérience, le travail et la communauté...
La solitude augmente ou diminue le nervosité... Cela s'appelle le malheur...

Alors par décision, on recherche à se tranquilliser et remettre la balance sur le zéro;
alors par construction, on décèle la notion d'une fragile tolérance:
Celle d'insulter !

Par Yahvé, cela est une horreur et une erreur...

La République de l'Olivier dit :
"Oui à la gréve, Non à l'Esclavage..."
la constitution rajoute :
"Oui à la Bibliothèque et Non à la Faim."
et le peuple doit rajouter :
"Oui à l'écoute et Non aux viols physiques et moraux."

Alors le Novice du Secourisme prends en charge sa nouvelle fonction autre qu'un service
militaire mais basé aussi sur la protection du Bien et du Corps.

"Je suis Y'becca"

Ecrit de
TAY
La chouette effraie.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Y'becca ou murmure de l'Arbre-Olivier.
http://leclandesmouettes.bbflash.net/t41-y-becca-ou-murmure-de-l-arbre-olivier

Profils des Juges du Secourisme et
la république de l'Olivier.

Chére Minouska, Féline de Pierre et Yvette et toutes les bonnes volonté(e)s

Je regarde le temps différemment après la mort de Athéna la chatte Bleue.
De longues années à voyager; à travailler et à écrire... Tel un Spartiate, je me suis emprunt à une apogée sur la compréhension du monde qui m'entourai de ses richesses; J' y ai rencontré des lueurs, des affronts et des forces.

Je regarde celle qui a su réveiller la force de réveiller ces écrits que j'ai voulu sauvegarder par le fait que après
tout, aide toi et le ciel te répondra: Et je dois dire que ma volonté fut exaucer... Alors je regarde Minouska, une chatte qui a recueilli mon cœur en lambeau lors de la guerre ou intifada, si vous préférez:

Le Juge Suprême de la république de l'Olivier est un personnage
qui doit s'informer et accueillir la Parole de l'un et de l'Autre. Il se doit d'écrire des vers, des proverbes, des espoirs, des fables car notre peuple aime cela: Ni fouet, ni chaines ! être sérieux devant les nuages gris !
Car l'arbre peur garantir notre fraternité et la justice de l'eau propager la diversités des écritures des forets donc vers la connaissance et Yahvé... La République est le pilier de l’Âme dans le sens où il s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première du Juge Suprême de la République de l'olivier.

Dans la vallée du Nil à la plaine des cèdres; le juge suprême doit présenter ses hontes et ses espoirs... je vous fait part de mon expérience... Nuls réponses dans un premiers temps ne se fit entendre alors j'envoyai des mouettes, des chouettes et des canaris sous forme de lettre tel un oiseau qui apprends son premier envol.

Alors sous forme de mirage pour certains et pour d'autres, cela s'appelle un message. Je me fis ce constat et que la volonté en soit ainsi si il ne veulent pas entendre;

"Propage la Connaissance des serments car ce sont les hommes qui s'entretuent par leur entreprise, leur volonté et leur désir! Car certains vomissent sur la fraternité voilà un maillon de haine du trois en un délivré par le vieux coq... Rétablit l'apprentissage de l'Espérance sur l'apprentissage de marcher ! La canne de l'age n'est pas un spectre; elle est une source d'eau ! Tu apprendra à entendre ta douleur devant la faim ! Nous sommes des étapes et en cela cherche le fait d'exister ! La République est le pilier de l’Âme dans le sens où elle s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première !

Ecrit de
TAY
La chouette Effraie.

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MessageSujet: Re: Spirales et Y'becca.   Jeu 12 Jan à 8:21

Le référendum est une institution et en cela, il n'est jamais dit que le principe du Referendum est une forme d'émancipation envers les autorités publiques... Le Referendum est la manière la plus noble auquel une loi peut être établi: Pourtant, un jour, Louis Napoléon utilisa cette manière du suffrage universel direct qui marqua les esprits... Le Peuple ne peut pourtant nier le rôle évident que représente le referendum dans le principe civique et morale de "l'individue et de l'individu" dans le terme de Démocratie... Ce principe pourtant, peut être juste consultatif mais il permet ainsi à l'individu de se mettre en situation auquel se retrouve exposer les élu"e"s... Certains voient dans le referendum une forme de combat de coq ou de boxe, en tout cas, à l'image d'un vote électif, il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie doit faire face: Il surpasse l'aspect de l'état et sans le remettre en cause, il est capable de pointer certaines choses de la vie quotidienne. Dans certains pays, il y a l'aspect de pétition qui peuvent être soumise au suffrage universel indirect... Le suffrage universel direct auquel appartient le Référendum est un aspect essentiel du caractère humain auquel un peuple veut s'adresse envers ses nouvelles générations... Le fait de débattre est un outil essentiel en terme de communication et pourtant dans certains cas, la question du Référendum relève de l'intérêt de l'état régalien, c'est en cela que certains hésitent sur son aspect même mais il montre l'aspect même de l'interlocuteur qui propose le sujet de la question. Le référendum est une loi d'utopie qui pourtant montre l'aspect réel de l'individu dans la société: En cela, j'accorde une importance réelle dans la constitution de Y'becca et des Républiques d'Israël et de la Palestine ainsi que dans toutes les Nations Morales et Physiques pour une reconnaissance morale et intellectuel dans le référendum: Son vote est lié malheureusement à des disputes entre des élu"e"s du Suffrage universel indirect... Toutefois, tout comme le vote direct du parlement et tout vote indirect du parlement, le référendum ne peut être organiser pour un Conflits d’intérêts et en cela, c'est au pouvoir judiciaire et à ses membres qu'il soit public et privé tout en maintenant et mettant l'aspect du service public militaire et civil dans la lutte contre les Conflits d’intérêts qui pourrait s'ingérer dans la teneur du débat et du vote: L'aspect du Général, de la société et l'individu doit être soulever en soulevant toutes les égalités et inégalités que peuvent engendrer le référendum... Certains peuvent s'amuser à créer de lois et des référendum pour des Conflits d’intérêts, pour créer des désordres et par gloire personnel... Cela n'est pas dans l'intérêt de l'harmonie sereine auquel nous devons être en ces situations profondes de changement de climat: "De jour en jour; le petit Nuage de Magellan et La Galaxie d'Andromède évolue depuis µ Êta Careme" s'écrie Nagaliew la mouette aux yeux verts..."
L'aspect du référendum est un droit de cité et de navire dans les prochains siècles à venir; et le juge suprême de la république de l'olivier s'y engage et dans des situations d'urgence, notre professionnalisme institué par la philosophie et la prudence du référendum nous permettra d'avoir l'anticipation sur le danger qu'il soit matérielle, morale et naturelle, ils peuvent être distinct ou englobé, Le référendum et ses principes il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie, une armée ou un navire doit faire face... Le Laïc et l'Eternel devant la démocratie et la Nature. Conflits d’intérêts... Le clans des mouettes et la cinquième république devant l'adversité des peurs et des intérêts... Nous sommes prêt à faire face à l'avenir... La République de l'Olivier...

Ecrit de
TAY
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